[论文解读] On the Formalization of Higher Inductive Types and Synthetic Homotopy Theory

van Doorn, Floris|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用 11

一句话总结

本文在依赖类型理论框架内形式化了高阶归纳类型（HITs）与综合同伦论，采用构造性、证明相关的途径。它建立了一个支持同伦类型论与同伦类型的综合推理的基础系统，关键贡献包括对截断、上积和类型的命题截断的正式处理。

ABSTRACT

The goal of this dissertation is to present synthetic homotopy theory in the setting of homotopy type theory. We will present various results in this framework, most notably the construction of the Atiyah-Hirzebruch and Serre spectral sequences for cohomology, which have been fully formalized in the Lean proof assistant.

研究动机与目标

• 在构造性、证明相关的类型理论中，为高阶归纳类型（HITs）提供一个形式化的类型论基础。
• 发展一种同伦论的综合方法，将路径、截断和上积等同伦概念内化。
• 建立一个系统，使同伦类型论与高阶归纳类型相容，支持对拓扑空间的综合推理。
• 将命题截断与上积等关键构造形式化为原始类型构造器，并定义可计算的消除原则。

提出的方法

• 使用带有同伦类型宇宙的依赖类型理论，以支持综合同伦论。
• 将高阶归纳类型引入为带有路径构造器的归纳类型，允许定义具有指定路径的类型。
• 采用证明相关的逻辑，将等式视为类型，从而支持基于路径的推理。
• 将命题截断定义为一种HIT，通过将类型的所有元素等同于单一点来实现商。
• 应用同伦公理，将同构类型等同，使类型的等价性可被视为相等。
• 为HIT开发消除原则，以内部化上积与截断的泛性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在类型论基础中形式化定义并内化高阶归纳类型？
• RQ2 何种必要且充分条件使类型论能够支持综合同伦论？
• RQ3 如何将命题截断与上积构造为具有良好行为消除规则的HIT？
• RQ4 同伦类型论是否能够在不依赖集合论模型的前提下，支持同伦类型的综合构造？
• RQ5 HIT的消除原则如何确保与同伦公理和路径等式的连贯性与一致性？

主要发现

• 本文成功将命题截断形式化为一种具有明确定义消除原则的高阶归纳类型，从而能够从任意类型构造出纯命题。
• 它证明了上积可被定义为HIT，为在类型论中构造同伦上积提供了综合方法。
• 该系统支持同伦公理，确保同构类型相等，这对综合同伦论至关重要。
• 命题截断的消除原则确保：从任意类型到纯命题的任何映射，均可唯一地通过其截断因子化。
• 形式化表明，高阶归纳类型与同伦公理一致，并支持同伦构造的内化。