[论文解读] On the Fourier transformation of Renormalization Invariant Coupling

D. V. Shirkov|ArXiv.org|Oct 2, 2002

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文分析了QCD不变耦合的傅里叶变换，表明微扰QCD中的非物理奇点是不当解析延拓的产物。研究表明，位置空间中的长程渐近行为（如指数上升的耦合）在动量空间中映射为有限或弱奇点的红外行为，这与Tauberian定理及ALPHA合作组的格点结果一致。

ABSTRACT

Integral transformations of the QCD invariant (running) coupling and of some related objects are discussed. Special attention is paid to the Fourier transformation, that is to transition from the space-time to the energy--momentum representation. The conclusion is that the condition of possibility of such a transition provides us with one more argument against the real existence of unphysical singularities observed in the perturbative QCD. The second conclusion relates to the way of "translation" of some singular long--range asymptotic behaviors to the infrared momentum region. Such a transition has to be performed with the due account of the Tauberian theorem. This comment relates to the recent ALPHA collaboration results on the asymptotic behavior of the QCD effective coupling obtained by lattice simulation.

研究动机与目标

• 检验QCD不变耦合在位置空间与动量空间表示之间傅里叶变换的有效性。
• 评估微扰QCD中观察到的非物理奇点是否源于解析延拓的不当使用，通过积分变换分析来判断。
• 调和格点模拟结果（特别是ALPHA合作组在距离表象中观察到的指数上升耦合）与动量空间中的红外行为。
• 应用Tauberian定理，确定长程渐近行为向红外动量区域的正确映射。
• 评估非微扰QCD函数（尤其是有效耦合）在红外区域的物理一致性。

提出的方法

• 使用积分变换（包括Adler型变换和正弦傅里叶变换），将不变耦合在动量空间与位置空间的表示联系起来。
• 应用跑动方程的重整化群（RG）函数方程，确保在变换过程中保持尺度变换下的不变性。
• 运用Tauberian定理，严格关联位置空间中函数的渐近行为（如指数增长）与动量空间中的行为（如有限或1/Q型奇点）。
• 将变换后的红外行为与格点模拟在动量表象下的结果进行比较，特别是ALPHA合作组的结果。
• 分析距离表象中的Schr"{o}dinger函数耦合，并利用傅里叶变换框架将其映射到动量空间。
• 考虑QCD红外极限的物理意义，通过Kugo-Ojima条件与传播子重整化常数趋于零，将其与禁闭联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 QCD不变耦合在位置空间与动量空间表示之间的傅里叶变换能否一致应用？RG不变性施加了何种约束？
• RQ2 微扰QCD中的非物理奇点是否源于不当解析延拓？能否通过积分变换分析排除这一可能性？
• RQ3 长程渐近行为（如距离表象中的指数增长）应如何映射到红外动量区域？
• RQ4 量子力学对应规则（r → 1/Q）在QCD耦合渐近行为中的有效性程度如何？其局限性是什么？
• RQ5 Schr"{o}dinger函数方案中的格点模拟结果（显示α_SF(L) ∼ e^{mL}）如何与有效耦合在动量空间的红外行为相关联？

主要发现

• QCD不变耦合的傅里叶变换为微扰QCD中非物理奇点的物理现实性提供了有力反驳证据，因为这些奇点在正确的解析延拓下并不持续存在。
• 位置空间中的长程渐近行为（如ALPHA格点模拟中观察到的α_SF(L) ∼ e^{mL}）在动量空间中映射为有限或弱奇点（1/Q型）的红外行为。
• 量子力学对应规则（r → 1/Q）仅对幂律和对数型渐近行为具有定性有效性，但对违反Tauberian条件的指数行为不成立。
• Tauberian定理对渐近行为的映射施加了严格约束：距离空间中的指数增长导致动量空间中为有限或可积奇点，而非强发散。
• 与ALPHA–IR,a对应的红外行为（表现为有限或弱奇点耦合）在物理上与禁闭一致，并与其它格点模拟结果及Kugo-Ojima条件相符。
• 该分析支持如下观点：在红外区域，非微扰QCD函数（包括有效耦合）应谨慎解释，因为其在强子尺度（r ≳ 10^{-13} cm）下的物理意义存疑。