[论文解读] On the fractional metric dimension of corona product graphs and lexicographic product graphs

Min Feng, Kaishun Wang|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2012

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 9被引用 26

一句话总结

本文通过将问题简化为因子图的参数，建立了冠图积和字典序图积的分数度量维数的闭式公式。引入了定位函数参数 $ l_f(H) $，证明了 $ ⋯dim_f(G \odot H) = ⋯dim_f(G) + |V(G)| · l_f(H) $，并在 $ H $ 为顶点传递图时推导出 $ ⋯dim_f(G[H]) = |V(G)| · l_f(H) $，其中 $ l_f(H) $ 通过度数和公共邻居参数显式计算得出。

ABSTRACT

A vertex $x$ in a graph $G$ resolves two vertices $u$, $v$ of $G$ if the distance between $u$ and $x$ is not equal to the distance between $v$ and $x$. A function $g$ from the vertex set of $G$ to $[0,1]$ is a resolving function of $G$ if $g(R_G\{u,v\})\geq 1$ for any two distinct vertices $u$ and $v$, where $R_G\{u,v\}$ is the set of vertices resolving $u$ and $v$. The real number $\sum_{v\in V(G)}g(v)$ is the weight of $g$. The minimum weight of all resolving functions for $G$ is called the fractional metric dimension of $G$, denoted by $\dim_f(G)$. In this paper we reduce the problem of computing the fractional metric dimension of corona product graphs and lexicographic product graphs, to the problem of computing some parameters of the factor graphs.

研究动机与目标

• 以图 $ G $ 和 $ H $ 的参数表示冠图积图 $ G \odot H $ 的分数度量维数。
• 使用因子图的结构参数表达字典序图积图 $ G[H] $ 的分数度量维数。
• 引入并计算定位函数参数 $ l_f(H) $，该参数捕捉基于邻域对称差的顶点对分辨所需的最小权重。
• 建立当 $ H $ 为顶点传递图时，$ l_f(H) = \frac{|V(H)|}{2k(H) - \max\{2\lambda(H), 2\mu(H) - 2\}} $ 的公式，从而实现 $ \dim_f(G[H]) $ 的精确计算。

提出的方法

• 引入图 $ H $ 上定位函数 $ g $ 的概念，要求对所有不同的 $ v_1,v_2 $，满足 $ g(S_H\{v_1,v_2\}) \geq 1 $，其中 $ S_H\{v_1,v_2\} $ 为它们开邻域的对称差。
• 将 $ l_f(H) $ 定义为满足该条件的定位函数的最小权重，该参数是计算图积分数度量维数的关键。
• 利用字典序图积的结构，将 $ G[H] $ 分解为 $ H $ 的副本，并通过基于 $ f_i(v) = \frac{1}{2}(\overline{f_i}((w_1,v)) + \overline{f_i}((w_2,v))) $ 的赋值方式，在 $ G[H] $ 上构造一个分辨函数，其中 $ \overline{f_i} $ 是在 $ K_2[H_i] $ 上的分辨函数。
• 利用对称性和顶点传递性，通过所有顶点对中 $ S_H\{v_1,v_2\} $ 的最小大小，推导出 $ l_f(H) $ 的闭式表达式。
• 通过分析冠图积结构中的分辨集，并将其与 $ G $ 和 $ H $ 上的分辨函数关联，证明了 $ \dim_f(G \odot H) = \dim_f(G) + |V(G)| \cdot l_f(H) $。
• 当 $ G $ 无孪生顶点时，建立 $ \dim_f(G[H]) = |V(G)| \cdot l_f(H) $，并在存在孪生顶点时，给出涉及 $ m_1(G), m_2(G), m_3(G) $ 的通用公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用 $ G $ 和 $ H $ 的参数表示冠图积 $ G \odot H $ 的分数度量维数？
• RQ2 定位函数参数 $ l_f(H) $ 在确定图积分数度量维数中的作用是什么？
• RQ3 当 $ H $ 为顶点传递图时，是否可以将字典序图积 $ G[H] $ 的分数度量维数简化为 $ G $ 和 $ H $ 参数的函数？
• RQ4 对于顶点传递图，$ l_f(H) $ 的精确值是多少？它与度数、$ \lambda(H) $ 和 $ \mu(H) $ 等图不变量有何关系？

主要发现

• 冠图积的分数度量维数满足 $ \dim_f(G \odot H) = \dim_f(G) + |V(G)| \cdot l_f(H) $，从而将问题简化为计算 $ \dim_f(G) $ 和 $ l_f(H) $。
• 当 $ H $ 为顶点传递图时，定位函数参数为 $ l_f(H) = \frac{|V(H)|}{2k(H) - \max\{2\lambda(H), 2\mu(H) - 2\}} $，其中 $ k(H) $ 为度数，$ \lambda(H) $ 为相邻顶点对的最大公共邻居数，$ \mu(H) $ 为非相邻顶点对的最大公共邻居数。
• 字典序图积的分数度量维数为 $ \dim_f(G[H]) = m_1(G)l_f(H) + \frac{m_2(G)}{2}\dim_f(K_2[H]) + \frac{m_3(G)}{2}\dim_f(K_2[\overline{H}]) $，其中 $ m_1, m_2, m_3 $ 按孪生类型对顶点集进行计数。
• 当 $ G $ 无孪生顶点时，有 $ \dim_f(G[H]) = |V(G)| \cdot l_f(H) $，且当 $ H $ 为顶点传递图时等号成立。
• 常数函数 $ \overline{f}((u,v)) = \frac{1}{s} $，其中 $ s = 2k(H) - \max\{2\lambda(H), 2\mu(H) - 2\} $，被证明是 $ G[H] $ 上的有效分辨函数，从而证明了上界并验证了公式。