[论文解读] On the frequency of vanishing of quadratic twists of modular L-functions

JB Conrey, JP Keating+2 more|ArXiv.org|Dec 7, 2000

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用 49

一句话总结

本文利用随机矩阵理论，推测模L-函数（特别是椭圆曲线的）二次扭曲在中心临界点处至少二阶零点的频率。提出当 |d| ≤ x 时，此类扭曲的数量渐近增长为 $ V_E(x) \sim b_E x^{3/4} (\log x)^{e_E} $，其中常数由正交对称性及 $ SO(2N) $ 中特征多项式的矩统计推导得出，且得到三个椭圆曲线的数值证据支持。

ABSTRACT

We present theoretical and numerical evidence for a random matrix theoretic approach to a conjecture about vanishings of quadratic twists of certain L-functions

研究动机与目标

• 理解模L-函数在中心临界点处二次扭曲的零点频率，特别是针对椭圆曲线的情况。
• 研究满足 |d| ≤ x 的基本判别式 d 的数量，使得扭曲L-函数 $ L_E(s, \chi_d) $ 在 s = 1/2 处至少二阶为零。
• 提出对 $ V_E(x) $（此类零点扭曲的计数）的改进渐近猜想，超越Goldfeld的 $ o(x) $ 预测。
• 将中心L-值的分布与随机矩阵理论联系起来，特别是正交对称类型 $ O^+ $，并基于矩推导预测。
• 通过三个水平分别为11、19和32的椭圆曲线的数值计算验证该猜想。

提出的方法

• 根据Katz-Sarnak哲学，将扭曲L-函数族 $ \mathcal{F}_{E^+} = \{ L_E(s, \chi_d) : w_E \chi_d(-N) = +1 \} $ 建模为对称类型为 $ O^+ $ 的正交族。
• 利用中心L-值的矩，推测其行为类似于 $ SO(2N) $ 中矩阵的特征多项式矩，其中 $ N \sim \log T $。
• 应用Keating-Snaith公式计算 $ SO(2N) $ 上 $ |\det(U - I)|^k $ 的矩，得出渐近公式 $ M_E(T,k) \sim g_k(O^+) a_k(E) (\log T)^{k(k-1)/2} $，其中 $ g_k(O^+) $ 涉及Barnes双伽马函数。
• 通过完整矩生成函数，利用Meijer G-函数表示逆Mellin变换，推导出中心L-值的猜想密度函数。
• 将预测的 $ L_E(1/2, \chi_d) $ 分布与实测数据比较，对理论 $ P_{O}(N,x) $ 和 $ P_{USp}(N,x) $ 密度进行均值归一化。
• 对三个椭圆曲线进行数值检验，比较观测到的零点频率和值分布与理论预测。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于满足 |d| ≤ x 的基本判别式 d，椭圆曲线L-函数的二次扭曲 $ L_E(s, \chi_d) $ 在 s = 1/2 处至少二阶为零的渐近频率是多少？
• RQ2 此类扭曲的中心L-值 $ L_E(1/2, \chi_d) $ 的分布与随机矩阵理论的预测相比如何？
• RQ3 能否利用 $ SO(2N) $ 中随机矩阵理论的矩猜想，推导出 $ V_E(x) $（此类零点扭曲的数量）的精确渐近公式？
• RQ4 在水平为11、19和32的椭圆曲线上进行的数值计算在多大程度上支持 $ V_E(x) $ 的猜想增长率 $ x^{3/4} (\log x)^{e_E} $？
• RQ5 $ L_E(1/2, \chi_d) $ 的值分布与正交对称下的理论 $ P_{O}(N,x) $ 相比如何？与酉辛模型下的 $ P_{USp}(N,x) $ 又如何比较？

主要发现

• 椭圆曲线L-函数的二次扭曲在 s = 1/2 处至少二阶为零的数量，猜想其渐近增长为 $ V_E(x) \sim b_E x^{3/4} (\log x)^{e_E} $，其中 $ b_E $ 和 $ e_E $ 依赖于椭圆曲线 E。
• 渐近公式中的指数 $ 3/4 $ 得到对半整权形式傅里叶系数的Ramanujan猜想以及零系数预期频率的支持。
• 水平为11、19和32的椭圆曲线的数值数据与预测的 $ x^{3/4} $ 标度高度一致，尤其在以 $ \log T $ 归一化后，残余波动源于对数的缓慢变化。
• 对于具有偶函数方程的素判别式 d，$ L_E(1/2, \chi_d) $ 的值分布与由随机矩阵理论导出的理论 $ P_{O}(N,x) $ 密度非常吻合。
• 作为对比，狄利克雷L-函数在 s = 1/2 处的分布与酉辛预测 $ P_{USp}(N,x) $ 一致，验证了Katz-Sarnak框架在另一情境下的适用性。
• 该猜想与Waldspurger公式一致，后者将 $ L_E(1/2, \chi_d) $ 与半整权模形式的傅里叶系数平方联系起来，并与这些系数的Ramanujan猜想一致。