[论文解读] On the Full Holonomy of Lorentzian Manifolds with Parallel Weyl Tensor

Daniel Schliebner|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用 5

一句话总结

该论文计算了具有平行 Weyl 张量但既非共形平坦也非局部对称的紧致洛伦兹流形的完整全纯群。证明了此类流形是测地完备的，并表明其万有覆叠微分同胚于一个完备的 pp-波度量。关键结果是约化全 holonomy 为 R^{n−2}，在基本群满足特定条件时，完整全 holonomy 等于 R^{n−2}。此外，证明了万有覆叠的等距同构群的单位连通分支微分同胚于 SO(n−2) 的子群 S 与 Heisenberg 群 He(n−2) 的半直积。

ABSTRACT

We compute the full holonomy group of compact Lorentzian manifolds with parallel Weyl tensor, which are neither conformally flat nor locally symmetric, for the case where the fundamental group is contained in a distinguished subgroup G of the isometry group of the universal cover. To prove this, we show that every such compact Lorentzian manifold has to be geodesically complete. Moreover we characterize the identity component of the isometry group for this universal cover and show that G is up to a discrete factor contained in the latter. Concretely, we prove that the identity component of the isometry group is isomorphic to a semidirect product of a subgroup of SO(n) with the Heisenberg group.

研究动机与目标

• 确定具有平行 Weyl 张量但既非共形平坦也非局部对称的紧致洛伦兹流形的完整全 holonomy 群。
• 建立此类紧致流形的测地完备性，这对全 holonomy 与等距同构群分析至关重要。
• 将万有覆叠的等距同构群的单位连通分支表征为 SO(n−2) 的子群与 Heisenberg 群 He(n−2) 的半直积。
• 阐明基本群在约束全 holonomy 中的作用，特别是当 π₁(M) 包含于特定的 (2n−3) 维子群 G ≅ ℤ ⋉ He(n−2) 时。

提出的方法

• 利用全 holonomy 原理及存在一个全纯的完全退化平行分布（Olszak 分布）来限制全 holonomy 表示。
• 应用 Derdziński 与 Roter 关于具有本质平行 Weyl 张量的流形的分类结果，将万有覆叠识别为一个完备的 pp-波度量。
• 利用 [CFS03] 中的结果证明万有覆叠的测地完备性，该结果将完备性归结为特定微分方程的全局解的存在性，其中涉及度量系数 κ 的梯度。
• 分析万有覆叠上的 Killing 向量场，以确定等距代数并识别等距同构群的单位连通分支。
• 利用 Heisenberg 代数与 SO(n−2) 的李代数元素之间的交换子关系，构造半直积结构。
• 将李子群 S ⊂ SO(n−2) 表征为 End(V) 中迹为零的自伴算子 A 的中心化子，该算子决定了对称结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有平行 Weyl 张量但既非共形平坦也非局部对称的紧致洛伦兹流形的完整全 holonomy 群是什么？
• RQ2 当基本群 π₁(M) 满足何种条件时，完整全 holonomy 群等于 R^{n−2}？
• RQ3 如何从李群结构表征万有覆叠的等距同构群的单位连通分支？
• RQ4 此类万有覆叠的等距同构群的最大可能维数是多少？其与算子 A 的关系如何？
• RQ5 在具有平行 Weyl 张量的紧致洛伦兹流形背景下，假设 π₁(M) ⊂ ℤ ⋉ He(n−2) 到底有多强的限制作用？

主要发现

• 任何具有本质平行 Weyl 张量的紧致洛伦兹流形 (M^n, g) 的万有覆叠 (fM, eg) 微分同胚于 R^n 上的完备 pp-波度量。
• 所有此类紧致洛伦兹流形均为测地完备，因为相关微分方程的最大解在整个实直线上有定义。
• 流形 (M^n, g) 的约化全 holonomy 群微分同胚于 R^{n−2}，即全 holonomy 表示中最大的阿贝尔子群。
• 若基本群 π₁(M) 包含于 G ≅ ℤ ⋉ He(n−2)，则完整全 holonomy 群 Hol(M^n, g) 等于 R^{n−2}。
• 万有覆叠的等距同构群的单位连通分支微分同胚于 S ⋉ He(n−2)，其中 S 是 SO(n−2) 的李子群，且与迹为零的自伴算子 A 交换。
• 在特定情形下，当 dim V = n−2 且 A 的特征子空间维数分别为 n−3 与 1 时，等距同构群的维数为 n(n+1)/2 − (2n−3)，严格小于 SO(n−2) × He(n−2) 的最大可能维数。