[论文解读] On the fundamental group and triple Massey's product

Grigori Rybnikov|ArXiv.org|May 13, 1998

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文证明，在伪同胚映射（在第一整同调上诱导同构，在第二同调上诱导满射）下的不变量，完全由基本群决定。此外，本文进一步表明，先前在 math.AG/9805056 中用于区分组合等价排列的不变量，等价于第一整同调群上的三重Massey积，从而为基本群不变量提供了同伦特征刻画。

ABSTRACT

Let us say that a map of arcwise connected topological spaces (having the homotopy type of CW-complexes) is a pseudo-homeomorphism if it induces an isomorphism of the first integer homology groups and an epimorphism of the second integer homology groups. We prove that any invariant of a topological space w.r.t. pseudo-homeomorphisms is an invariant of the fundamental group of this space. We also describe a necessary condition for the fundamental groups to be distinguished by such invariants. As an example we show that the invariant used in math.AG/9805056 to distinguish the fundamental groups of combinatorially equivalent arrangements is, in fact, a form of triple Massey's product on the first integer homology group.

研究动机与目标

• 理解在伪同胚映射限制下，哪些拓扑不变量由基本群决定。
• 阐明同调群在区分同伦类型相同但基本群不同的空间中的作用。
• 将先前关于排列研究中使用的不变量（math.AG/9805056）与代数拓扑中的经典构造联系起来。
• 为能检测同调之外基本群差异的不变量提供同伦特征刻画。

提出的方法

• 将伪同胚定义为在弧连通空间之间、具有CW复形同伦类型的映射，其在 H₁(−;ℤ) 上诱导同构，在 H₂(−;ℤ) 上诱导满射。
• 证明任何在该类映射下保持不变的不变量，必然是基本群的不变量。
• 利用下中央列及其相关分次李代数的结构分析基本群。
• 将 H¹(−;ℤ) 上的三重Massey积与复超平面排列研究中使用的不变量联系起来。
• 应用上同调运算与Massey积的理论，检测基本群中的非平凡性。
• 证明 math.AG/9805056 中的不变量在 H¹(−;ℤ) 中可实现为三重Massey积，从而将其与经典代数拓扑联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在限制于伪同胚映射时，哪些拓扑空间的不变量由其基本群决定？
• RQ2 用于区分组合等价排列的不变量背后的精确代数结构是什么？
• RQ3 三重Massey积能否用于检测仅通过同调无法区分的基本群差异？
• RQ4 伪同胚如何约束同调与基本群不变量之间的关系？
• RQ5 math.AG/9805056 中的不变量是否等价于已知的上同调构造（如三重Massey积）？

主要发现

• 任何在伪同胚映射下保持不变的不变量，必然是基本群的不变量。
• 第一整同调群 H¹(−;ℤ) 上的三重Massey积为通过此类不变量区分基本群提供了必要条件。
• 用于区分组合等价排列的不变量（math.AG/9805056）在代数上等价于 H¹(−;ℤ) 上的三重Massey积。
• 在某些排列的基本群中，三重Massey积是非平凡的，表明其存在超越同调的高阶非平凡结构。
• 该构造表明，基本群可检测到同调本身无法区分的更精细的拓扑差异，即使同调群同构。
• 本文在排列的组合拓扑与经典的上同调不变量（如Massey积）之间建立了桥梁。