[论文解读] On the fundamental group of Hom(Z^k,G)

José Manuel Gómez, Alexandra Pettet+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用 13

一句话总结

本文证明了以平凡表示为基点的紧李群 G 中交换 k 元组空间的基本群，同构于 G 的基本群的 k 重积。通过 Weyl 群作用及一个关键的满射映射 σₖ：从扭曲积 G ×_{N(T)} Tᵏ 到 Hom(ℤᵏ, G)₁，作者通过约化到单连通情形及覆叠空间技巧完成证明，解决了特定群的猜想，并将其推广至一般情形。

ABSTRACT

Let G be a compact Lie group, and consider the variety Hom(Z^k,G) of representations of Z^k into G. We view this as a based space by designating the trivial representation to be its base point. We prove that the fundamental group of this space is naturally isomorphic to π_1(G)^k.

研究动机与目标

• 确定以平凡表示为基点的紧李群 G 中交换 k 元组空间的基本群。
• 将 Torres-Giese 与 Sjerve 对 SO(3)、SU(2) 和 U(2) 的结果推广至所有紧李群。
• 证明对所有 k ≥ 1 和所有紧李群 G，π₁(Hom(ℤᵏ,G)₁) ≅ π₁(G)ᵏ 成立。
• 通过分析其连通分支与基本群行为，阐明 Hom(ℤᵏ,G) 的拓扑结构。

提出的方法

• 利用自然包含映射 i: G₀ → G 将问题约化至 G 连通的情形，因为 π₁(Hom(ℤᵏ,G₀)) → π₁(Hom(ℤᵏ,G)) 是同构。
• 定义映射 σₖ: G ×_{N(T)} Tᵏ → Hom(ℤᵏ,G)₁，将 (g,t₁,…,tk) 映射为共轭 k 元组 (gt₁g⁻¹,…,gtk g⁻¹)，并证明其连续且满射。
• 使用一般位置论证证明 σₖ 是 π₁ 满射，即 Hom(ℤᵏ,G)₁ 中的每条闭路在 σₖ 下可提升。
• 当 G 单连通时，证明 π₁(G ×_{N(T)} Tᵏ) 的生成元在 π₁(σₖ) 下映射为平凡闭路，从而推出 π₁(Hom(ℤᵏ,G)₁) ≅ π₁(G)ᵏ。
• 通过取 universal cover G̃ 将结果推广至非单连通 G，分析 Hom(ℤᵏ,G̃)₁ 与 Hom(ℤᵏ,G)₁ 之间的诱导映射。
• 利用 Weyl 的覆叠定理及正则元素的结构，确保 σₖ 在正则部分是微分同胚，从而辅助同伦分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 当基点为平凡表示时，紧李群 G 中交换 k 元组空间的基本群是什么？
• RQ2 对所有紧李群 G 和所有 k ≥ 1，同构 π₁(Hom(ℤᵏ,G)₁) ≅ π₁(G)ᵏ 是否成立？
• RQ3 当基点不在平凡表示所在的连通分支时，Hom(ℤᵏ,G) 的拓扑如何依赖于基点的选择？
• RQ4 能否通过覆叠空间理论将单连通群的情形结果推广至一般紧李群？
• RQ5 哪些拓扑障碍会阻止 Hom(ℤᵏ,G) 是道路连通的，它们如何影响基本群？

主要发现

• 对任意紧李群 G 和 k ≥ 1，基本群 π₁(Hom(ℤᵏ,G)₁) 自然同构于 π₁(G)ᵏ。
• 即使 G 单连通但 Hom(ℤᵏ,G) 不道路连通，只要基点位于平凡表示的连通分支中，结论依然成立。
• 作为推论，对 n ≥ 2，SU(n) 的 Hom(ℤᵏ,SL(n,ℂ)) 对所有 k ≥ 1 都是连通且单连通的。
• 映射 σₖ: G ×_{N(T)} Tᵏ → Hom(ℤᵏ,G)₁ 是 π₁ 满射，这是证明中的关键技术步骤。
• 当 G 不单连通时，通过提升至 universal cover 并分析覆叠映射，可得 Hom(ℤᵏ,G)₁ 的基本群同构于 π₁(G)ᵏ。
• 若基点不在平凡表示的连通分支中，结论不成立；例如在 Hom(ℤ³,Spin(7)) 中，外在分支 B₃ 的基本群为 (ℤ/2)⁴。