[论文解读] On the fundamental theorem of $(p,q)$-calculus and some $(p,q)$-Taylor formulas

P. Njionou Sadjang|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2013

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 3被引用 84

一句话总结

本文建立了 $(p,q)$-微积分的基本定理，并利用一种新型的 $(p,q)$-幂基推导出多项式形式的两个 $(p,q)$-泰勒公式。文中引入了 $(p,q)$-导数与 $(p,q)$-积分算子，证明了收敛性条件，并推导出 $(p,q)$-分部积分公式，将经典微积分与 $q$-微积分的结果推广至更一般的 $(p,q)$-框架，适用于多项式展开与反导数计算。

ABSTRACT

In this paper, the $(p,q)$-derivative and the $(p,q)$-integration are investigated. Two suitable polynomials bases for the $(p,q)$-derivative are provided and various properties of these bases are given. As application, two $(p,q)$-Taylor formulas for polynomials are given, the fundamental theorem of $(p,q)$-calculus is included and the formula of $(p,q)$-integration by part is proved.

研究动机与目标

• 将经典泰勒公式与微积分基本定理推广至 $(p,q)$-微积分框架。
• 定义并分析 $(p,q)$-导数与 $(p,q)$-积分算子，包括收敛性条件。
• 建立 $(p,q)$-牛顿-莱布尼茨公式（基本定理）与分部积分的 $(p,q)$-类比。
• 利用 $(p,q)$-幂基与标准基之间的关系公式，为多项式提供两种 $(p,q)$-泰勒展开。
• 将 $q$-微积分的结果推广至更一般的 $(p,q)$-框架，包括极限行为与收敛性分析。

提出的方法

• 通过 $ D_{p,q}f(x) = \frac{f(px) - f(qx)}{(p-q)x} $ 定义 $(p,q)$-导数（$ x \neq 0 $ 时），并在 $ x = 0 $ 处采用极限定义。
• 将 $(p,q)$-幂基定义为 $ (x \ominus a)_{p,q}^n = \prod_{i=0}^{n-1} (p^i x - a q^i) $，以推广单项式。
• 推导了 $(p,q)$-导数的关键性质，包括乘积法则与高阶微分公式。
• 通过无穷级数定义 $(p,q)$-积分：$ \int_0^a f(x) d_{p,q}x = (p-q)a \sum_{k=0}^\infty q^k f(a q^k) $，并给出收敛条件。
• 证明了 $(p,q)$-微积分的基本定理：$ \int_a^b f(x) d_{p,q}x = F(b) - F(a) $，其中 $ F $ 是 $ f $ 的反导数。
• 推导出 $(p,q)$-分部积分公式：$ \int_a^b f(px) D_{p,q}g(x) d_{p,q}x = f(b)g(b) - f(a)g(a) - \int_a^b g(qx) D_{p,q}f(x) d_{p,q}x $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 $(p,q)$-幂基而非单项式来推广经典泰勒公式？
• RQ2 $(p,q)$-积分在有限与无限区间上的收敛性需满足何种条件？
• RQ3 当 $ p \to 1 $ 时，$(p,q)$-导数与普通导数之间有何关系？
• RQ4 $(p,q)$-牛顿-莱布尼茨公式的 $(p,q)$-类比是什么？在何种连续性假设下成立？
• RQ5 能否在 $(p,q)$-微积分框架下建立一致的分部积分规则？

主要发现

• $(p,q)$-微积分的基本定理成立：$ \int_a^b f(x) d_{p,q}x = F(b) - F(a) $，前提是 $ F $ 是 $ f $ 的反导数且在 $ x = 0 $ 处连续。
• $(p,q)$-导数满足乘积法则：$ D_{p,q}(f g) = f(px) D_{p,q}g + g(qx) D_{p,q}f $，推广了 $q$-情形的结果。
• 利用基 $ (x \ominus a)_{p,q}^n $ 推导出多项式的 $(p,q)$-泰勒公式，其系数涉及 $ [n]_{p,q} $ 与 $ [n]_{p,q}! $。
• 当函数满足 $ |f(x)| \leq M x^{\alpha} $ 且 $ \alpha > 0 $ 时，$(p,q)$-积分在 $ p $ 与 $ q $ 满足特定条件时收敛。
• 建立了 $(p,q)$-分部积分公式，且在 $ b = \infty $ 时仍成立，将经典结果推广至 $(p,q)$-框架。
• 当 $ p \to 1 $ 时，所有 $(p,q)$-结果退化为对应的 $q$-微积分结果，验证了与已知 $q$-理论的一致性。