[论文解读] On the Gauge Aspects of Gravity

Frank Gronwald, Friedrich W. Hehl|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 1996

Relativity and Gravitational Theory参考文献 82被引用 35

一句话总结

本文通過將規範場論的原則——此前僅應用於U(1)和SU(2)等內在對稱性——擴展至時空對稱性（包括平移與洛倫茲變換），提出了一套規範場論的引力理論框架。結果顯示，愛因斯坦–卡坦理論與正規平行引力理論可自然地從平移群與龐加萊群的規範化中導出，進而形成一種度規-仿射引力理論，統一了曲率與扭量；關鍵結果表明，在特定條件下該理論與廣義相對論等價，並對包含非度規性與扭量的引力場方程提供了新見解。

ABSTRACT

We give a short outline, in Sec.\ 2, of the historical development of the gauge idea as applied to internal ($U(1),\, SU(2),\dots$) and external ($R^4,\,SO(1,3),\dots$) symmetries and stress the fundamental importance of the corresponding conserved currents. In Sec.\ 3, experimental results with neutron interferometers in the gravitational field of the earth, as inter- preted by means of the equivalence principle, can be predicted by means of the Dirac equation in an accelerated and rotating reference frame. Using the Dirac equation in such a non-inertial frame, we describe how in a gauge- theoretical approach (see Table 1) the Einstein-Cartan theory, residing in a Riemann-Cartan spacetime encompassing torsion and curvature, arises as the simplest gravitational theory. This is set in contrast to the Einsteinian approach yielding general relativity in a Riemannian spacetime. In Secs.\ 4 and 5 we consider the conserved energy-momentum current of matter and gauge the associated translation subgroup. The Einsteinian teleparallelism theory which emerges is shown to be equivalent, for spinless matter and for electromagnetism, to general relativity. Having successfully gauged the translations, it is straightforward to gauge the four-dimensional affine group $R^4 \semidirect GL(4,R)$ or its Poincaré subgroup $R^4\semidirect SO(1,3)$. We briefly report on these results in Sec.\ 6 (metric-affine geometry) and in Sec.\ 7 (metric-affine field equations ( ef{zeroth}, ef{first}, ef{second})). Finally, in Sec.\ 8, we collect some models, currently under discussion, which bring life into the metric-affine gauge framework developed.

研究动机与目标

• 將規範原理——在U(1)與楊–米爾斯理論等內在對稱性中取得成功的原理——一致地推廣至時空對稱性，如平移與洛倫茲變換。
• 釐清愛因斯坦幾何引力方法與基於局域對稱性原理的規範場論方法之間在概念與數學上的差異。
• 將愛因斯坦–卡坦理論與正規平行引力理論作為龐加萊群的平移子群規範化的自然結果加以推導。
• 建立一個一致的度規-仿射引力（MAG）框架，其中曲率、扭量與非度規性作為獨立的幾何場。
• 探討規範場論引力的物理含義與場方程，特別是在旋量與標量物質場存在下的情形。

提出的方法

• 利用加速與旋轉參考系中的狄拉克方程來模擬中子干涉及實驗，透過等效原理將量子效應與引力場聯繫起來。
• 應用烏蒂亞馬–斯凱馬–基布爾方法對平移群進行規範化，引入平移規範規範勢，並推導對應的場強（即扭量）。
• 構建一個平移規範場的拉格朗日量，導出愛因斯坦型正規平行理論，並證明其在無旋量場時與廣義相對論經典等價。
• 將規範程序擴展至整個仿射群 $ R^4 \rtimes GL(4,R) $，進而導出度規-仿射引力（MAG），其中度規、聯絡與曲率相互獨立。
• 從包含曲率、扭量與非度規性的通用拉格朗日量出發，利用變分原理對共標架、聯絡與度規變分，推導MAG的場方程。
• 分析具體模型，如愛因斯坦–卡坦理論、龐加萊規範理論（PG）以及具有共形對稱性的外爾型模型，包括外爾一形式及其與標量場（希格斯型）的耦合。

实验结果

研究问题

• RQ1 規範場論的原理——最初為內在對稱性而發展——如何能一致地應用於引力中的時空對稱性，如平移與洛倫茲變換？
• RQ2 當平移群被規範化時，會產生哪種引力理論？它與廣義相對論及正規平行引力理論有何關係？
• RQ3 包含曲率、扭量與非度規性作為獨立幾何自由度的度規-仿射規範理論，其場方程與物理含義為何？
• RQ4 愛因斯坦–卡坦理論、龐加萊規範理論與外爾型引力模型在幾何結構與物理內容上有何差異？
• RQ5 在外規範場論框架中，外爾一形式扮演何種角色？如何能一致地與物質場耦合，同時保持規範不變性？

主要发现

• 對平移群的規範化導致非零扭量的理論，進而產生愛因斯坦–卡坦引力，該理論在無旋量物質與電磁場時與廣義相對論等價。
• 由平移規範化導出的愛因斯坦型正規平行理論，在無旋量場時被證明與廣義相對論經典等價。
• 對完整龐加萊群的規範化導出龐加萊規範理論（PG），這是廣義相對論的推廣，其中曲率與扭量均為動力學場。
• 建立了一個一致的度規-仿射引力（MAG）框架，其中度規、聯絡與曲率相互獨立，允許非度規性與扭量作為基本幾何結構。
• 在拉格朗日量中引入外爾一形式，可導出具有共形對稱性的理論，該理論可透過標量場（希格斯型）實現破缺，進而產生有質量的引力場，其場方程以（142）–（145）形式導出。
• 包含外爾型場與標量場（拉格朗日量147）的模型在高能下保持共形不變性，並在低能下生成具有質量模式的有效理論，暗示了引力中自發對稱性破缺的機制。