[论文解读] On the Gauss-Manin connection in cyclic homology

Boris Tsygan|ArXiv.org|Jan 13, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用 9

一句话总结

该论文在周期循环链复形的层次上，通过在DGLA的扭曲通用包络代数上的显式 $L_∞$-模结构，构造了周期循环同调中的 Gauss-Manin 连接。关键贡献是通过从 $\mathfrak{g}_A^\bullet[u,\epsilon]$ 到负循环复形的端点复形的 $L_∞$-同构，实现了无需关联器的规范构造，从而在 $\operatorname{HC}_\bullet^\operatorname{per}(A)$ 上得到 Getzler 的平坦连接。

ABSTRACT

We define Getzler's Gauss-Manin connection in cyclic homology at the level of chains and outline some relations of this construction to noncommutative calculus.

研究动机与目标

• 在链的层次上定义 Getzler 的周期循环同调 Gauss-Manin 连接，而不仅仅是上同调层次。
• 在负循环链复形 $\operatorname{CC}_\bullet^{-}(A)$ 上显式构造一个 $K[[u]]$-线性、$(u)$-拓扑连续的 $L_\infty$-模结构。
• 提供一种避免依赖 Drinfeld 关联器的规范构造，与先前方法不同。
• 建立 $\operatorname{CC}_\bullet^{-}(A)$ 上的 $A_\infty$-模结构与 $(C^\bullet(A), C_\bullet(A))$ 上底层 $\operatorname{Calc}_\infty$ 代数结构之间的联系。

提出的方法

• 定义一个带有形式变量 $u$（度数为 $-2$）和 $\epsilon$（度数为 $1$）的 DGLA $({\mathfrak{g}}^\bullet_A[u,\epsilon], \delta + u\partial/\partial\epsilon)$。
• 使用结构映射 $\phi_n$ 的显式公式，在 $\operatorname{CC}_\bullet^{-}(A)$ 上构造该 DGLA 上的 $L_\infty$-模结构。
• 利用 Hochschild 上链复形 DGA $C^\bullet(A)$ 的负循环复形 $\operatorname{CC}_\bullet^{-}(C^\bullet(A))$，其具有 $A_\infty$-代数结构。
• 引入一个扭曲的巴尔构造 $B^{\operatorname{tw}}({\mathfrak{g}}^\bullet_A[u,\epsilon])$，作为与通用包络代数 $U({\mathfrak{g}}^\bullet_A[u,\epsilon])$ quasi-isomorphic 的 DG 代数。
• 建立从 $B^{\operatorname{tw}}$ 到 $\operatorname{End}_{K[[u]]}(\operatorname{CC}_\bullet^{-}(A))$ 的 quasi-isomorphism 链，从而得到 $A_\infty$-同构，进而得到 $L_\infty$-同构。
• 利用所得的 $L_\infty$-同构，在 $\Omega^\bullet(S, \operatorname{CC}_\bullet^{\operatorname{per}}(A))$ 上定义 Gauss-Manin 连接，作为总度数为一的同态，形式为 $\omega \mapsto d\omega + \sum_{n=1}^\infty \frac{u^{-n}}{n!} \phi_n(\theta,\dots,\theta)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在链的层次上直接构造周期循环同调上的 Gauss-Manin 连接，而非仅在上同调层次上？
• RQ2 是否存在一种规范的、无需关联器的 $L_\infty$-模结构构造，用于在涉及 $u$ 和 $\epsilon$ 的 DGLA 上作用于负循环复形？
• RQ3 $\operatorname{CC}_\bullet^{-}(A)$ 上的 $A_\infty$-模结构与 $(C^\bullet(A), C_\bullet(A))$ 上的底层 $\operatorname{Calc}_\infty$ 代数结构之间有何关系？
• RQ4 该 $L_\infty$-模结构是否可通过与 DGLA 的通用包络代数 quasi-isomorphic 的扭曲巴尔构造实现？

主要发现

• 该论文在 DGLA $({\mathfrak{g}}^\bullet_A[u,\epsilon], \delta + u\partial/\partial\epsilon)$ 上构造了一个规范的 $L_\infty$-模结构于 $\operatorname{CC}_\bullet^{-}(A)$ 上，该结构是 $K[[u]]$-线性且 $(u)$-拓扑连续的。
• 在 $\mathfrak{g}_A^\bullet$ 上诱导的 $L_\infty$-模结构恢复了通过李导数 $L_D$ 的标准作用。
• 引入了扭曲的巴尔构造 $B^{\operatorname{tw}}({\mathfrak{g}}^\bullet_A[u,\epsilon])$，作为与 $U({\mathfrak{g}}^\bullet_A[u,\epsilon])$ quasi-isomorphic 的 DG 代数，从而实现了构造。
• 映射 $\epsilon E_1 \wedge \cdots \wedge \epsilon E_n \mapsto \frac{1}{n!} \sum_{\sigma} (\epsilon E_{\sigma_1}) E_{\sigma_2} \cdots E_{\sigma_n}$ 定义了一个从 $B^{\operatorname{tw}}$ 到 $U({\mathfrak{g}}^\bullet_A[u,\epsilon])$ 的 quasi-isomorphism。
• Gauss-Manin 连接被实现为一个总度数为一的同态 $\Omega^\bullet(S, \operatorname{CC}_\bullet^{\operatorname{per}}(A)) \to \Omega^\bullet(S, \operatorname{CC}_\bullet^{\operatorname{per}}(A))$，其形式为 $\omega \mapsto d\omega + \sum_{n=1}^\infty \frac{u^{-n}}{n!} \phi_n(\theta,\dots,\theta)$，其中 $\theta(X)(s) = L_X m_s \epsilon$。
• 该构造避免了对 Drinfeld 关联器的依赖，与早期方法不同，且相较于先前工作提供了更明确且规范的框架。