[论文解读] On the general homogenization and Gamma-closure for the equations of von Kármán plate from 3 D nonlinear elasticity

Igor Velčić|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2013

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 10被引用 1

一句话总结

本文通过Γ-收敛推导出三维非线性弹性中的均匀化冯·卡门板模型，推广了先前的周期性均匀化结果。证明了Γ-闭包的局部性，表明通过混合n种材料得到的每种能量密度均可作为周期性均匀化序列的逐点极限。

ABSTRACT

Starting from 3D elasticity equations we derive the model of the homogenized von Karman plate by means of Γ-convergence. This generalizes the recent results, where the material oscillations were assumed to be periodic. We also prove the locality of Γ-closure i.e. that every energy density obtained in this way by mixing n different materials is at almost every point of domain limit of some sequence of the energy densities obtained by periodic homogenization.

研究动机与目标

• 通过Γ-收敛将冯·卡门板的周期性均匀化结果推广至一般振荡材料。
• 为非周期性、非均匀材料中的均匀化能量密度建立数学基础。
• 证明通过混合n种材料获得的每种能量密度均可作为周期性均匀化序列的逐点极限。
• 将Γ-闭包概念推广至非周期性设置下的非线性弹性。

提出的方法

• 利用Γ-收敛从三维非线性弹性方程推导出均匀化冯·卡门板模型。
• 使用变分方法在一般振荡材料分布下表征极限能量泛函。
• 应用Γ-极限理论分析n种材料混合下能量密度的闭包性质。
• 通过构造收敛于任意混合能量密度的周期性均匀化问题序列，建立Γ-闭包的局部性。
• 利用Sobolev空间中的紧致性与下确界半连续性性质，确保Γ-极限的收敛性。
• 利用冯·卡门泛函的结构，将三维弹性与均匀化极限下的二维板模型联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设材料振荡具有周期性的情况下，能否从三维非线性弹性中推导出冯·卡门板模型？
• RQ2 在非周期性、非均匀材料中，能量密度的Γ-闭包行为如何？
• RQ3 通过混合n种材料获得的每种能量密度是否可表示为周期性均匀化序列的逐点极限？
• RQ4 在非线性弹性背景下，一般均匀化与周期性均匀化之间存在何种关系？
• RQ5 能量密度的Γ-闭包在均匀化极限下是否保持局部性？

主要发现

• 通过Γ-收敛，从三维非线性弹性中严格推导出适用于一般振荡材料的均匀化冯·卡门板模型。
• 证明了能量密度的Γ-闭包可局部表示为周期性均匀化序列的极限，从而确立了Γ-闭包的局部性。
• 通过混合n种不同材料获得的每种能量密度均可作为周期性均匀化问题序列的逐点极限。
• 该结果通过取消材料振荡的周期性假设，推广了先前的周期性均匀化结果。
• 在Γ-极限意义下建立了均匀化能量泛函的收敛性，确保了模型的稳定性和一致性。
• 分析结果表明，冯·卡门泛函的结构在一般均匀化下得以保持，从而支持对具有复杂微结构的薄板进行有效建模。