[论文解读] On the general Sombor index of unicyclic graphs with a given diameter

HU Xi-peng, Lingping Zhong|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2022

Graph theory and applications被引用 6

一句话总结

本文为具有给定直径 $d$ 的单环图建立了广义 Sombor 指数 $SO_\alpha(G)$ 的精确上界，其中 $0 < \alpha < 1$。通过图变换技术和凸性分析，证明了实现最大 $SO_\alpha(G)$ 的极值图是特定的单环图 $U(n,d)$，其特征为一个中心环以及沿直径路径最优分布的悬挂顶点。该结果将先前关于 Sombor 指数和遗忘指数的研究推广至更广泛的广义 Sombor 指数框架。

ABSTRACT

The general Sombor index of $G$ is defined as $SO_α(G)= \sum_{uv\in G}\left(d^2_{G}(u)+d^2_{G}(v) ight)^α$. For $0&lt;α&lt;1$, we have the upper bound of $SO_α(G)$ on unicyclic graphs with a fixed diameter, and the extremal graph is also characterized.

研究动机与目标

• 确定在给定直径 $d$ 和 $0 < \alpha < 1$ 条件下，单环图 $SO_\alpha(G)$ 的最大值。
• 识别在直径约束下实现该最大指数的唯一极值单环图结构。
• 将先前关于 Sombor 指数和遗忘指数的研究结果推广至更广泛的广义 Sombor 指数框架。
• 通过图变换与凸性分析，建立极值图的结构特性。

提出的方法

• 将广义 Sombor 指数定义为 $SO_\alpha(G) = \sum_{uv \in E(G)} \left(d_G^2(u) + d_G^2(v)\right)^\alpha$，其中 $0 < \alpha < 1$。
• 使用图变换 $G \xrightarrow{uv} G'$，将一个非悬挂分支从高阶顶点 $v$ 重新定位至另一顶点 $u$，从而增加指数值。
• 应用引理 1 表明，由于函数 $x \mapsto (x^2 + y^2)^\alpha$ 的凸性，通过变换提升顶点度数可增加指数项。
• 利用引理 3、4 和 5 证明在结构变化下指数差值的单调性，确保变换使 $SO_\alpha(G)$ 增加。
• 通过对 $n$ 进行归纳，并对直径路径与环的结构进行分析，将任意极值图简化为标准形式 $U(n,d)$。
• 证明任何偏离 $U(n,d)$ 的结构都会导致 $SO_\alpha(G)$ 严格减小，利用不等式 $18^\alpha - 13^\alpha + 5^\alpha - 10^\alpha < 0$ 及其类似表达式（$0 < \alpha < 1$）完成证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $0 < \alpha < 1$ 条件下，所有阶为 $n$、直径为 $d$ 的单环图中，广义 Sombor 指数 $SO_\alpha(G)$ 的最大值是多少？
• RQ2 在固定直径约束下，哪种单环图结构能实现该最大指数？
• RQ3 重新分配度数的图变换如何影响广义 Sombor 指数？
• RQ4 在何种条件下，通过顶点度数重新分配从图 $G$ 变换为图 $G'$ 时，广义 Sombor 指数会增加？
• RQ5 极值图是否可唯一表征为具有中心环及沿直径路径分布悬挂顶点的特定单环图 $U(n,d)$？

主要发现

• 阶为 $n$、直径为 $d$ 的单环图中，广义 Sombor 指数 $SO_\alpha(G)$ 的最大值唯一由图 $U(n,d)$ 实现，该图由长度为 $d$ 的中心环以及连接在直径路径端点的悬挂顶点构成。
• 当 $n = d+2$ 且 $d \geq 4$ 时，极值图为 $U(d+2,d)$，且 $SO_\alpha(G) \leq SO_\alpha(U(d+2,d))$，等号成立当且仅当 $G \cong U(d+2,d)$。
• 当 $d_G(u) \geq 2$，$d_G(v) \geq 2$，且 $v$ 被变为悬挂顶点时，变换 $G \xrightarrow{uv} G'$ 严格增加 $SO_\alpha(G)$，这是由于函数 $x \mapsto (x^2 + y^2)^\alpha$ 在 $0 < \alpha < 1$ 时的凸性。
• 在关键情形下（如 $2 \cdot 8^\alpha - 10^\alpha - 18^\alpha < 0$），差值 $SO_\alpha(G) - SO_\alpha(G')$ 为负，证明非 $U(n,d)$ 图无法为极值图。
• 函数 $f(x) = (x^2 + 9)^\alpha - (x^2 + 4)^\alpha$ 在 $x > 0$ 且 $0 < \alpha < 1$ 时单调递减，支持了证明中的单调性论证。
• 通过归纳法与结构简化，任意极值图 $G^*$ 必须同构于 $U(n,d)$，因为任何偏离都会通过变换导致指数增加，从而产生矛盾。