[论文解读] On the General Structure of Hamiltonian Reductions of the Wznw Theory

L. Fehér, L. O’Raifeartaigh+3 more|ArXiv.org|Dec 22, 1991

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 7被引用 17

一句话总结

本文通过使用第一类 Kac-Moody 约束，建立了一个用于 WZNW 理论哈密顿约化的通用框架，推导出约化理论中精确可积性、共形不变性和 W 对称性的条件。该文构建了一个规范化的 WZNW 拉格朗日形式，以实现路径积分和 BRST 量化，并证明 W 代数源于单李代数中的 sl(2) 嵌入——通过这些约化统一了 W_n^l 代数和广义 Toda 理论。

ABSTRACT

The structure of Hamiltonian reductions of the Wess-Zumino-Novikov-Witten (WZNW) theory by first class Kac-Moody constraints is analyzed in detail. Lie algebraic conditions are given for ensuring the presence of exact integrability, conformal invariance and $\cal W$-symmetry in the reduced theories. A Lagrangean, gauged WZNW implementation of the reduction is established in the general case and thereby the path integral as well as the BRST formalism are set up for studying the quantum version of the reduction. The general results are applied to a number of examples. In particular, a ${\cal W}$-algebra is associated to each embedding of $sl(2)$ into the simple Lie algebras by using purely first class constraints. The importance of these $sl(2)$ systems is demonstrated by showing that they underlie the $W_n^l$-algebras as well. New generalized Toda theories are found whose chiral algebras are the ${\cal W}$-algebras belonging to the half-integral $sl(2)$ embeddings, and the ${\cal W}$-symmetry of the effective action of those generalized Toda theories associated with the integral gradings is exhibited explicitly.

研究动机与目标

• 开发一个基于第一类 Kac-Moody 约束的 WZNW 理论哈密顿约化的通用李代数框架。
• 确定约化理论表现出精确可积性、共形不变性和 W 对称性的李代数结构的必要与充分条件。
• 构建一个拉格朗日形式的规范 WZNW 理论，以实现约化理论的路径积分和 BRST 量化。
• 证明 W 代数（包括 W_n^l 和广义 Toda 理论）可自然地从单李代数中的 sl(2) 嵌入中产生。
• 对经典李代数（A_l, B_l, C_l, D_l）中的 H-相容 sl(2) 嵌入及其半化进行分类，并确定其在生成一致 W 对称性中的作用。

提出的方法

• 通过 sl(2) 嵌入实现的李代数分级，推导出 WZNW 相空间中第一类、共形不变的 Kac-Moody 约束的条件。
• 通过引入规范场以实现第一类约束，构建约束 WZNW 理论的拉格朗日形式。
• 应用 Dirac-Bergmann 约束量化程序，推导出有效物理哈密顿量和泊松括号结构。
• 利用 Dirac 括号的多项式性质，识别约化相空间中的左旋 W 代数结构。
• 将 BRST 形式化应用于约束系统，以建立量子路径积分并分析量子反常。
• 通过在张量和旋量表示中施加度量形式的正交性和非退化性条件，分析 H-相容 sl(2) 嵌入及其半化结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些李代数条件可确保 WZNW 理论的哈密顿约化产生精确可积、共形不变且具有 W 对称性的理论？
• RQ2 如何系统地构建一个拉格朗日形式的规范 WZNW 理论，以在一般情况下实现哈密顿约化？
• RQ3 W_n^l 代数与从单李代数中 sl(2) 嵌入产生的 W 代数之间的确切关系是什么？
• RQ4 哪些 sl(2) 嵌入进入经典李代数（A_l, B_l, C_l, D_l）具有 H-相容的半化并产生一致的 W 对称性？
• RQ5 广义 Toda 理论如何从 WZNW 约化中涌现？其有效作用量中 W 对称性的显式实现是什么？

主要发现

• 本文确立了 W 代数由第一类、共形不变的 Kac-Moody 约束对 WZNW 理论进行哈密顿约化而生成。
• 在 WZNW → Toda 约化中，约化理论的左旋代数同构于与 sl(2) 嵌入相关的 W 代数，其共形权重由李代数的卡西米尔算子决定。
• 与半整数阶 sl(2) 嵌入相关的广义 Toda 理论具有同构于 W 代数的左旋代数，其 W 对称性在有效作用量中被显式展现。
• H-相容的 sl(2) 嵌入仅在特定表示多重性和对偶性条件下存在：对于 C_l，旋量必须以对称正交对的形式出现，且多重性为 2；对于 D_l，张量必须以正交对偶对形式出现，且多重性为 2。
• H-相容半化条件要求在张量上满足 ad_H = ad_M0，这限制了允许的嵌入——仅 B_l、C_l、D_l 中的整数阶 sl(2) 嵌入可实现半化，且仅 D_l 中在基本表示中具有两个标量的特定嵌入满足该条件。
• 已为约化系统构建了 BRST 形式化，并在两个例子中显式计算了 Virasoro 中心理论，与已知的量子 W 代数结果一致。