[论文解读] On the Generalised Colouring Numbers of Graphs that Exclude a Fixed Minor

Jan van den Heuvel, Patrice Ossona de Mendez+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 25被引用 44

一句话总结

该论文为排除固定小图的图中广义染色数 colr(G) 和 wcolr(G) 建立了紧致的线性和多项式上界，显著改进了先前的指数上界。通过利用字典序广度优先搜索树以及小图封闭族中的图结构性质，作者证明了在 Kt-小图排除图中，colr(G) ≤ (t−1)/2 · (2r + 1) 且 wcolr(G) ≤ O(rt−1)，并对平面图和有界亏格图给出了更紧致的上界。

ABSTRACT

The generalised colouring numbers $\mathrm{col}_r(G)$ and $\mathrm{wcol}_r(G)$ were introduced by Kierstead and Yang as a generalisation of the usual colouring number, and have since then found important theoretical and algorithmic applications. In this paper, we dramatically improve upon the known upper bounds for generalised colouring numbers for graphs excluding a fixed minor, from the exponential bounds of Grohe et al. to a linear bound for the $r$-colouring number $\mathrm{col}_r$ and a polynomial bound for the weak $r$-colouring number $\mathrm{wcol}_r$. In particular, we show that if $G$ excludes $K_t$ as a minor, for some fixed $t\ge4$, then $\mathrm{col}_r(G)\le\binom{t-1}{2}\,(2r+1)$ and $\mathrm{wcol}_r(G)\le\binom{r+t-2}{t-2}\cdot(t-3)(2r+1)\in\mathcal{O}(r^{\,t-1})$. In the case of graphs $G$ of bounded genus $g$, we improve the bounds to $\mathrm{col}_r(G)\le(2g+3)(2r+1)$ (and even $\mathrm{col}_r(G)\le5r+1$ if $g=0$, i.e. if $G$ is planar) and $\mathrm{wcol}_r(G)\le\Bigl(2g+\binom{r+2}{2}\Bigr)\,(2r+1)$.

研究动机与目标

• 改进 Grohe 等人先前建立的、针对排除固定小图的图中广义染色数的指数上界。
• 为 Kt-小图排除图中的 colr(G) 和 wcolr(G) 提供紧致且显式的上界，尤其关注平面图和有界亏格图。
• 建立广义染色数与树深度、树宽及亏格等图结构参数之间的联系。
• 证明这些上界可改进相关图不变量（如无环染色数）的结果。
• 通过利用字典序广度优先搜索排序和小图排除性质，改进稀疏图类中的现有上界。

提出的方法

• 利用字典序广度优先搜索（LexBFS）树定义一种顶点排序，以控制半径 r 内的可达性。
• 应用图结构理论，界定在 LexBFS 排序下，任意顶点 u 的强 r-可达顶点数量。
• 在最大平面图中使用路径分离论证，通过父路径（Pa, Pb, Pc）约束 r-邻域的大小。
• 利用在 LexBFS 中较早被访问的顶点具有较低顺序的事实，实现对可达集的归纳控制。
• 通过在 BFS 树中进行归纳和逐层分析，界定 NGr[u] ∩ V(Pa)、V(Pb) 和 V(Pu) 中的顶点数量。
• 通过分析包含 u 的父节点所在面的情况推导上界，尤其区分平面图中内部面与外面对。

实验结果

研究问题

• RQ1 在排除固定小图的图中，r-染色数 colr(G) 的最紧致上界是什么？
• RQ2 这些上界如何依赖于所排除的小图，特别是对于完全图 Kt？
• RQ3 在 Kt-小图排除图中，弱 r-染色数 wcolr(G) 是否能以 r 的多项式形式有界？
• RQ4 在平面图或有界亏格图等特殊图类中，这些上界如何改进？
• RQ5 这些上界在改进如无环染色数等相关不变量的已知上界方面，能提升到何种程度？

主要发现

• 对于任意 Kt-小图排除图 G（t ≥ 4），有 colr(G) ≤ (t−1)/2 · (2r + 1)，这是关于 r 的线性上界。
• 对于同一类图，wcolr(G) ≤ (r+t−2 choose t−2) · (t−3)(2r + 1)，即 O(rt−1)，这是关于 r 的多项式上界。
• 在平面图中（亏格 g = 0），有 colr(G) ≤ 5r + 1，且当 r = 1 时该上界是紧致的。
• 对于亏格为 g 的图，有 colr(G) ≤ (4g + 5)r + 2g + 1，优于先前的指数上界。
• 对于平面图，wcolr(G) ≤ (r+2 choose 2) · (2r + 1)，即 O(r³)，且当 r = 1 时该上界也是紧致的。
• Kt-小图排除图的无环染色数现被限定为 O(t²)，优于先前的 O(t² log²t) 上界。