[论文解读] On the generalization of the GMS evolutionary model

Skevi Michael, Stanislav Volkov|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2011

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文通过允许在每个时间步随机、独立同分布地产生或移除任意数量的物种种群，推广了GMS进化模型，而非仅允许一个物种种群的增减。在特定条件下，证明了幸存物种种群的适应度收敛于[ f,1 ]上的均匀分布，其中 f ∈ [0,1)，同时当灭绝事件为常返时，总种群规模的行为表现为常返过程。

ABSTRACT

We study a generalization of the evolution model proposed by Guiol, Machado and Schinazi (arXiv:0909.2108). In our model, at each moment of time a random number of species is either born or removed from the system; the species to be removed are those with the lower fitnesses, fitnesses being some numbers in $[0,1]$. We show that under some conditions, a set of species approaches (in some sense) a sample from a uniform distribution on $[f,1]$ for some $f\in [0,1)$, and that the total number of species forms a recurrent process in most other cases.

研究动机与目标

• 将GMS模型从每步仅允许一个出生或死亡的假设，推广至允许随机数量的物种种群被添加或移除。
• 研究在一般独立同分布的出生与死亡过程中，系统的长期行为。
• 确定在何种条件下，幸存物种种群的适应度趋近于[ f,1 ]上的均匀分布，其中 f ∈ [0,1)。
• 分析在推广模型中，总种群规模过程的常返性或灭绝特性。

提出的方法

• 模型在单位区间[0,1]上演化，每个物种种群被赋予独立同分布地从U[0,1]中抽取的适应度值。
• 在每个时间步，以概率 p，Zn 个新物种种群被加入（Z 独立同分布），以概率 q=1−p，Xn 个适应度最低的物种种群被移除（X 独立同分布）。
• 系统从空集开始，通过一个随机过程演化，种群规模更新为 |Tn+1| = |Tn| + Zn（若为出生）或 max(|Tn| − Xn, 0)（若为死亡）。
• 分析使用大数定律和Borel-Cantelli引理，研究幸存物种种群集合的渐近行为。
• 关键工具包括集合 R′n（适应度位于 [f,1] 内的物种种群）和 Rnε（在时间 n 之后仍存活的位于 [f+ε,1] 内的物种种群），以及临界阈值 pc = μZ / μX 的定义。
• 证明根据 μZ 和 μX 是否为有限或无穷，区分不同情形，并运用耦合论证和几乎必然收敛，建立极限行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，幸存物种种群的适应度集合收敛于[ f,1 ]上的均匀分布，其中 f ∈ [0,1)？
• RQ2 系统的长期行为如何依赖于出生与死亡过程的期望值 μX 与 μZ？
• RQ3 是什么决定了种群规模过程是常返还是最终变为空集？
• RQ4 当期望出生数 μZ 为无穷，或期望死亡数 μX 为无穷时，会发生什么？
• RQ5 在推广设定下，系统是否表现出自组织临界性或间断平衡式的行为？

主要发现

• 若 μZ = ∞ 且 μX < ∞，系统趋近于从 U[0,1] 中随机抽取的样本，意味着所有适应度值在渐近下呈均匀分布。
• 若 μZ < ∞ 且 μX < ∞，且 p > pc = μZ / μX，则系统趋近于从 U[f,1] 中随机抽取的样本，其中 f = 1 − pc，表明存在一个适应度阈值 f，高于该阈值的物种种群才能存活。
• 若 μZ < ∞ 且满足 p < pc 或 μX = ∞，则系统以几乎必然的方式无限次变为空集，表明灭绝事件为常返。
• 幸存集合对 U[f,1] 的逼近误差阶为 o(n^{1/2+ε})，对任意 ε > 0 成立，扩展了原始GMS模型的结果。
• 当 μZ = ∞ 且 μX < ∞ 时，被移除物种种群的比例可忽略不计，因此幸存集合在渐近下与所有出生物种种群的集合一致。
• 在临界情形 μX, μZ < ∞ 且 p = pc，以及 μX = μZ = ∞ 的情形下，行为尚未被刻画，为未来研究留下开放问题。