[论文解读] On the generalized Chen's conjecture on biharmonic submanifolds

Ye‐Lin Ou, Liang Tang|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用 14

一句话总结

该论文通过在具有严格负截面曲率的5维共形平坦空间中构造出一族恰当双调和超平面的叶状结构，否定了关于双调和子流形的广义陈猜想。利用幂律共形因子的度量积，作者证明了在非正曲率流形中存在非极小双调和子流形，从而推翻了该猜想。

ABSTRACT

The generalized Chen's conjecture on biharmonic submanifolds asserts that any biharmonic submanifold of a non-positively curved manifold is minimal (see e.g., [CMO1], [MO], [BMO1], [BMO2], [BMO3], [Ba1], [Ba2], [Ou1], [Ou2], [IIU]). In this paper, we prove that this conjecture is false by constructing foliations of proper biharmonic hyperplanes in a 5-dimensional conformally flat space with negative sectional curvature. Many examples of proper biharmonic submanifolds of non-positively curved spaces are also given.

研究动机与目标

• 为反驳广义陈猜想，该猜想认为所有在非正曲率流形中的双调和子流形必须是极小的。
• 在非正曲率空间，特别是共形平坦流形中，构造出恰当双调和子流形的显式反例。
• 证明在具有负截面曲率的空间中存在非极小双调和子流形，从而挑战子流形几何学中长期存在的猜想。
• 将恰当双调和子流形的分类从欧几里得空间和双曲空间扩展到更一般的非正曲率黎曼流形。

提出的方法

• 在 ℝ⁵₊ 上通过幂律共形因子 f(z) = (Az + B)^t（其中 t ∈ (0, 1/2)）构造一个共形平坦度量。
• 通过等距浸入 φ(x₁,…,x₄) = (x₁,…,x₄, ∑aᵢxᵢ + c) 定义 ℝ⁵₊ 中的超平面叶状结构，其中 (a₁,a₂,a₃,a₄) ∈ S³(√(2t/(1−2t)))。
• 利用共形度量计算双调和方程，并验证当系数满足特定约束时，该浸入满足双调和条件。
• 通过分析曲率张量和函数 f(z) = (Az + B)^t，证明所得到的共形平坦空间的截面曲率为严格负。
• 将共形平坦空间与欧几里得空间 ℝᵏ⁻¹ 的乘积用于构造任意余维数 k ≥ 1 的子流形。
• 利用 [Ou2] 中的结果确认乘积嵌入是恰当双调和的，因为其在每个变量上均为双调和，且在 x-变量上为恰当的。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义陈猜想——即所有在非正曲率流形中的双调和子流形必须是极小的——是否普遍成立？
• RQ2 恰当双调和子流形是否可能存在于非正曲率黎曼流形中，特别是具有负曲率的空间？
• RQ3 共形因子 f(z) 需满足何种条件，才能在度量积结构中构造出恰当双调和超平面？
• RQ4 是否可以在非正曲率空间中构造出任意余维数的此类子流形？
• RQ5 此类子流形的存在是否否定了广义陈猜想？

主要发现

• 广义陈猜想关于双调和子流形是错误的，已通过显式反例得到证明。
• 一个5维共形平坦黎曼流形，其截面曲率严格为负，允许存在恰当双调和超平面的叶状结构。
• 该构造使用共形因子 f(z) = (Az + B)^t，其中 t ∈ (0, 1/2)，从而生成一个负曲率空间。
• 对于任意 t ∈ (0, 1/2) 及 (a₁,a₂,a₃,a₄) ∈ S³(√(2t/(1−2t)))，浸入 φ(x₁,…,x₄) = (x₁,…,x₄, ∑aᵢxᵢ + c) 定义了一个恰当双调和超曲面。
• 由于当 t ∈ (0, 1/2) 时，(a₅² + b₅²)ff′′ − (f′)² < 0，因此共形平坦空间的曲率为严格负。
• 通过与欧几里得空间的乘积，作者在非正曲率流形中构造出了任意余维数 k ≥ 1 的恰当双调和子流形。