[论文解读] On the generalized circle problem for a random lattice in large dimension

Andreas Strömbergsson, Anders Södergren|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 1

一句话总结

该论文在高维随机格点上建立了广义圆问题误差项的函数中心极限定理。通过使用Rogers均值公式的新版本和矩收敛技术，证明了在缩放函数 f(n) 满足温和增长条件时，归一化误差项在 n → ∞ 时收敛到布朗运动。该结果证实了在高维随机格点中，格点计数的普遍高斯波动行为。

ABSTRACT

In this note we study the error term R_{n,L}(x) in the generalized circle problem for a ball of volume x and a random lattice L of large dimension n. Our main result is the following functional central limit theorem: Fix an arbitrary function f(n) from the positive integers to the positive real line, tending to infinity with n but with subexponential growth. Then, the random function t -> (2f(n))^{-1/2} R_{n,L}(t f(n)) on the interval [0,1] converges in distribution to one-dimensional Brownian motion as n tends to infinity. The proof goes via convergence of moments, and for the computations we develop a new version of Rogers' mean value formula. For the individual k:th moment of the variable (2f(n))^{-1/2} R_{n,L}(f(n)) we prove convergence to the corresponding Gaussian moment more generally for functions f satisfying f(n)<<e^{cn} for any fixed c in an interval 0<c<c_k, where c_k is a constant depending on k whose optimal value we determine.

研究动机与目标

• 理解高维 n 中随机格点的广义圆问题中误差项 Rn,L(x) 的渐近分布。
• 在 n → ∞ 时，为归一化误差项建立函数中心极限定理。
• 确定归一化误差的第 k 阶矩收敛到高斯矩的最优 f(n) 增长率。
• 将先前关于格点向量长度的泊松分布结果推广到更广泛的缩放函数类。

提出的方法

• 为 SL(n,R) 上的积分开发Rogers均值公式的新版本，以处理误差项的矩。
• 使用矩收敛技术证明归一化误差过程弱收敛到布朗运动。
• 分析矩展开中各类矩阵 D 的贡献，区分那些包含在 Mk,n 中的与在极限中消失的矩阵。
• 应用指数积分和格点行列式项的界，以控制非平凡矩阵带来的尾部贡献。
• 利用 eVx 在 x ≥1 时严格递减且为凸函数的性质，比较并界定矩贡献。
• 确定 f(n) 增长率的临界阈值 ck，使得当 c < ck 时收敛成立，而当 c > ck 时收敛失败。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于高维 n 中的随机格点 L，当 n → ∞ 时，归一化误差项 Rn,L(f(n))/√(2f(n)) 是否在分布上收敛到标准正态随机变量？
• RQ2 f(n) 的最优增长率是什么，使得归一化误差的第 k 阶矩收敛到标准高斯分布的第 k 阶矩？
• RQ3 当考虑的向量数量随 n 增长时，高维中格点向量长度的分布行为如何？
• RQ4 能否将向量长度序列的泊松过程极限扩展到随 n 亚指数增长的向量数 N(n)？
• RQ5 临界常数 ck 是什么，使得当 f(n) = e^{cn} 且 c < ck 时矩收敛成立，而当 c > ck 时收敛失败？

主要发现

• 对于任意满足 f(n) → ∞ 且 f(n) = Oε(e^{εn}) 对所有 ε > 0 的 f(n)，归一化误差过程 t ↦ Rn,L(tf(n))/√(2f(n)) 在 n → ∞ 时在 [0,1] 上依分布收敛到一维布朗运动。
• 若 f(n) = O(e^{cn}) 且 c < ck，其中 ck 为显式确定的临界常数，则归一化误差项的第 k 阶矩对所有 k ≥1 收敛到标准高斯分布的第 k 阶矩。
• 临界常数 ck 由 ck = −2 log eVk−1 / (k−2) 给出（k ≥3），当 c > ck 时矩收敛失败。
• 当 f(n) 亚指数增长时，误差项表现出普遍的高斯波动，表明高维随机格点中格点计数存在中心极限定理。
• 具有每列超过一个非零元素的矩阵 D 的贡献在极限中消失，而仅每列恰好有一个非零元素的矩阵对极限矩有贡献。
• 该结果将 Södergren (2016) 定理 1.1 关于格点向量长度的泊松分布推广到更广泛的缩放函数类，证实了当 N(n) 随 n 亚指数增长时的泊松行为。