[论文解读] On the generalized distance spectral radius of graphs

Shu‐Yu Cui, Gui‐Xian Tian+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2019

Graph theory and applications参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文研究了连通图的广义距离谱半径，定义为矩阵 $ D_{\beta}(G) = \alpha \operatorname{Tr}(G) + (1-\alpha)D(G) $ 的最大特征值，其中 $ 0 \leq \alpha \leq 1 $。本文刻画了在固定色数、$ n $ 个顶点的树以及单环图中，使该谱半径最小化的唯一图，统一推广了关于距离谱半径和距离无符号拉普拉斯谱半径的已知结果。

ABSTRACT

The generalized distance spectral radius of a connected graph $G$ is the spectral radius of the generalized distance matrix of $G$, defined by $$D_α(G)=αTr(G)+(1-α)D(G), \;\;0\leα\le 1,$$ where $D(G)$ and $Tr(G)$ denote the distance matrix and diagonal matrix of the vertex transmissions of $G$, respectively. This paper characterizes the unique graph with minimum generalized distance spectral radius among the connected graphs with fixed chromatic number, which answers a question about the generalized distance spectral radius in spectral extremal theories. In addition, we also determine graphs with minimum generalized distance spectral radius among the $n$-vertex trees and unicyclic graphs, respectively. These results generalize some known results about distance spectral radius and distance signless Laplacian spectral radius of graphs.

研究动机与目标

• 确定在阶为 $ n $ 且色数固定为 $ r \geq 3 $ 的所有连通图中，使广义距离谱半径最小的唯一图，解决谱极值图论中的一个开放问题。
• 识别使广义距离谱半径最小的唯一 $ n $ 个顶点的树和单环图，推广已知的距离谱半径和距离无符号拉普拉斯谱半径结果。
• 建立以色数表示的广义距离谱半径的下界，推广此前关于距离谱和距离无符号拉普拉斯谱的下界结果。
• 通过引入广义距离矩阵 $ D_\alpha(G) $，统一并推广现有的谱半径极值结果，该矩阵在 $ D(G) $、$ D^Q(G) $ 和 $ \operatorname{Tr}(G) $ 之间插值。

提出的方法

• 定义广义距离矩阵 $ D_\alpha(G) = \alpha \operatorname{Tr}(G) + (1-\alpha)D(G) $，其中 $ \operatorname{Tr}(G) $ 为顶点传输的对角矩阵，$ D(G) $ 为距离矩阵。
• 将 $ D_\alpha(G) $ 的谱半径 $ \rho_{D_\alpha}(G) $ 作为广义距离谱半径，利用特征值交错和矩阵扰动技术分析其极值。
• 应用商矩阵法处理均衡划分，计算 $ \rho_{D_\alpha}(S_n) $ 和 $ \rho_{D_\alpha}(S_n^+) $，通过特征多项式推导出精确表达式。
• 利用迹和传输和建立 $ \rho_{D_\alpha}(G) $ 的下界，利用 $ \rho_{D_\alpha}(G) \geq \frac{2W(G)}{n} $ 的事实，其中 $ W(G) $ 为传输和。
• 采用连续性论证并比较 $ \alpha \in [0,1] $ 下的特征值，特别是 $ \alpha = 0 $ 和 $ \alpha = 1 $ 附近，证明特定图的最小性。
• 以 $ \alpha = 0 $（距离谱半径）和 $ \alpha = \frac{1}{2} $（距离无符号拉普拉斯谱半径）的已知极值结果作为基础情形，验证推广的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于阶为 $ n $ 且色数固定为 $ r \geq 3 $ 的连通图，$ 0 \leq \alpha \leq 1 $ 时，哪个图使广义距离谱半径 $ \rho_{D_\alpha}(G) $ 最小？
• RQ2 使 $ \rho_{D_\alpha}(G) $ 最小的唯一 $ n $ 个顶点的树是什么？这如何推广 $ \alpha = 0 $ 时的已知结果？
• RQ3 使 $ \rho_{D_\alpha}(G) $ 最小的唯一单环图是什么？对于哪些 $ \alpha \in [0,1] $，带三角形的星图 $ S_n^+ $ 实现该最小值？
• RQ4 能否建立以色数 $ r $ 表示的 $ \rho_{D_\alpha}(G) $ 的下界？何时取等？
• RQ5 广义距离谱半径 $ \rho_{D_\alpha}(G) $ 随 $ \alpha $ 变化时的行为如何，特别是在 $ \alpha = 0 $ 和 $ \alpha = 1 $ 附近？

主要发现

• 星图 $ S_n $ 是使广义距离谱半径 $ \rho_{D_\alpha}(S_n) $ 最小的唯一 $ n $ 个顶点的树，其谱半径为二次方程 $ \rho^2 - (\alpha n + 2n - 4)\rho + (n-1)(2\alpha n - 2\alpha - 1) = 0 $ 的最大根。
• 当 $ n \geq 6 $ 时，图 $ S_n^+ $（带三角形的星图）是使 $ \rho_{D_\alpha}(G) $ 最小的唯一单环图，对所有 $ \alpha < \alpha_0 $ 成立，其中 $ \alpha_0 \in (\frac{1}{2}, 1) $，且谱半径满足一个三次特征方程。
• 对于非平凡区间内的 $ \alpha $，$ S_n $ 的广义距离谱半径严格小于任何其他 $ n $ 个顶点的树，且 $ S_n^+ $ 在单环图中也具有相同性质。
• 该结果推广了文献 [13] 的推论 3.5（关于树的距离谱半径）和文献 [15] 的推论 3.6（关于树的距离无符号拉普拉斯谱半径），分别在 $ \alpha = 0 $ 和 $ \alpha = \frac{1}{2} $ 时恢复了这些结果。
• 在阶为 $ n $ 且色数 $ r \geq 3 $ 的连通图中，使 $ \rho_{D_\alpha}(G) $ 最小的唯一图是完全 $ r $-部图 $ K_{1,1,\dots,1,n-r+1} $，证实了文献 [5] 中的猜想。
• 当 $ \alpha = 0 $ 时，结果恢复了已知的极值结果：在 $ n $ 个顶点的树中，$ S_n $ 最小化距离谱半径；在单环图中，$ S_n^+ $ 最小化距离谱半径，与先前工作保持一致。