[论文解读] On the generalized linear and non-linear DFC in non-linear dynamics

Dmitriy Dmitrishin, Anna Khamitova+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2014

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文研究了非线性离散动力系统中广义线性和非线性延迟反馈控制（DFC）在稳定平衡点方面的应用。研究证明，广义线性DFC面临与经典Pyragas DFC相同的根本性限制，而非线性DFC结合多延迟则能对向量情形下任意可接受的乘子集合实现鲁棒稳定，相较于线性方案具有显著优势。

ABSTRACT

The article is devoted to investigation of robust stability of the generalized linear control of the discrete autonomous dynamical systems. Sharp necessary conditions on the size of the set of multipliers that guaranty robust stabilization of the equilibrium of the system are provided. Surprisingly enough it turns out that the generalized linear delayed feedback control has same limitation as the classical Pyragas DFC. This generalized Ushio 1996 DFC limitation statement. Note that in scalar case a generalized non-linear control can robustly stabilize an equilibrium for any admissible range of multipliers. In the current article similar result is obtained in the vector-valued setting.

研究动机与目标

• 研究使用广义线性与非线性延迟反馈控制（DFC）对非线性离散动力系统中的平衡点实现鲁棒稳定化。
• 确定在系统参数存在不确定性时，保证鲁棒稳定的乘子集合的严格必要条件。
• 比较广义线性DFC与经典Pyragas DFC的局限性，并探讨非线性DFC在向量值系统中的优势。
• 证明非线性DFC结合多延迟可在向量情形下对任意可接受的乘子集合实现平衡点的鲁棒稳定，而线性DFC则不能。

提出的方法

• 将系统建模为具有不稳定平衡点且雅可比矩阵依赖于参数的离散自治动力系统。
• 分析在广义线性DFC下闭环系统的特征多项式，该多项式由多个时间延迟下的状态差分导出。
• 通过将单位圆盘在多项式映射下的像进行反演，将稳定性问题转化为几何复分析理论问题。
• 使用形式为 $ q(z) = \sum_{j=1}^{N} \alpha_j z^j $ 的多项式映射，其中 $ q(0) = 0 $，$ q(1) = 1 $，以表征可接受乘子的区域。
• 应用复分析技术，包括单位圆盘的映射及关于单位圆的反演，推导稳定性条件。
• 构造特定多项式映射 $ q(z) = \frac{2}{N} \sum_{j=1}^{N} (1 - \frac{j}{N+1}) z^j $，以覆盖左半平面与单位圆区域，确保对 $ \Re(\mu) \leq 1/N $ 的鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义线性DFC是否克服了经典Pyragas DFC在参数不确定性下稳定平衡点的局限性？
• RQ2 非线性DFC结合多延迟是否能对向量值系统中任意可接受的乘子集合实现鲁棒稳定？
• RQ3 使用非线性DFC在复平面上覆盖给定乘子区域所需的最小多项式次数是多少？
• RQ4 多项式映射下单位圆盘像的几何结构如何影响稳定化的鲁棒性？
• RQ5 是否存在一种构造性方法设计非线性DFC控制器，以保证对任意乘子集合的稳定性？

主要发现

• 广义线性DFC继承了与经典Pyragas DFC相同的根本性限制：当乘子集合包含单位圆上或复平面中某些区域的值时，无法实现系统稳定。
• 与线性DFC相反，结合多延迟的非线性DFC可在向量值情形下对任意可接受的乘子集合实现平衡点的鲁棒稳定。
• 本文构造了特定多项式映射 $ q(z) = \frac{2}{N} \sum_{j=1}^{N} (1 - \frac{j}{N+1}) z^j $，确保其逆像覆盖左半平面与单位圆，从而实现对 $ \Re(\mu) \leq 1/N $ 的鲁棒稳定。
• 该方法将稳定性问题简化为几何复分析理论问题：在多项式映射 $ q(z) $ 下，将乘子集合 $ M $ 覆盖于单位圆盘像的反演区域内。
• 对于Ikeda映射与Arnold猫映射，数值模拟结果表明，非线性DFC使系统经历混沌、波动、分离、集中，最终实现稳定。
• 所提出的非线性DFC控制器与平衡点位置无关，并在同步时消失，从而保持了原系统平衡结构的完整性。