[论文解读] On the generalized membership problem in relatively hyperbolic groups

Olga Kharlampovich, Pascal Weil|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 31被引用 1

一句话总结

本文在相对双曲群的外围结构条件较弱的前提下，通过基于Stallings图和自动结构的半算法，建立了有限表示的相对拟凸子群广义成员资格问题的可判定性。关键贡献在于提出了一种部分算法，当子群为相对拟凸时，该算法将停止并正确判定成员资格，利用了相对双曲群的几何与算法性质以及外围有限性条件。

ABSTRACT

The aim of this short note is to provide a proof of the decidability of the generalized membership problem for relatively quasi-convex subgroups of finitely presented relatively hyperbolic groups, under some reasonably mild conditions on the peripheral structure of these groups. These hypotheses are satisfied, in particular, by toral relatively hyperbolic groups.

研究动机与目标

• 解决组合群论中长期悬而未决的相对双曲群广义成员资格问题的可判定性问题。
• 确定相对双曲群外围结构的条件，使得相对拟凸子群的成员资格问题变为可判定。
• 将算法技术（特别是Stallings图和自动结构）从自由群与双曲群推广至更广泛的相对双曲群类。
• 提供一种半算法，仅在子群为相对拟凸时停止，并正确判定给定元素的成员资格。

提出的方法

• 在自由群中为输入字词生成类似Stallings的图，然后通过附加群表示中关系式的标记环路进行修改。
• 通过迭代应用Stallings折叠，保持有限、标记、定向图，以表示在环境群中的子群。
• 使用非确定性半算法通过探索有限指数外围子群扩展来测试成员资格。
• 在扩展字母表（包括外围生成元）上使用自动结构来表示测地代表元并验证拟凸性。
• 利用Hruska、Manning-Martínez-Pedroza和Antolin-Ciobanu的研究成果，计算外围有限指数并验证扩展子群中的成员资格。
• 将这些组件整合为一个部分算法，当子群为相对拟凸时，该算法将停止并确认成员资格或非成员资格。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种相对双曲群外围结构条件下，相对拟凸子群的广义成员资格问题可判定？
• RQ2 Stallings图方法能否从自由群推广至具有非平凡外围子群的相对双曲群？
• RQ3 是否存在一种半算法，能正确判定相对拟凸子群的成员资格，并且仅在子群满足该几何条件时停止？
• RQ4 如何利用自动结构与外围有限指数条件来证明此类子群中的非成员资格？

主要发现

• 在满足较弱外围假设（包括环状相对双曲群）的有限表示相对双曲群中，相对拟凸子群的广义成员资格问题具有可判定性。
• 构造了一种半算法，当且仅当子群为相对拟凸时，该算法将停止并正确判定成员资格。
• 该算法通过在有限指数外围扩展中进行非确定性搜索，依赖于存在具有测地代表元的自动结构。
• 当子群H为相对拟凸且g ∉ H时，存在一个有限指数外围扩展H₁，使得H₁具有外围有限指数且g ∉ H₁，从而使算法能够停止并确认非成员资格。
• 该方法将Stallings折叠与图表示子群的方法推广至相对双曲群环境，扩展了其算法实用性。
• 在假设(H1)–(H4)下，该构造是有效的，这些假设被环状相对双曲群及其他自然群类所满足。