[论文解读] On the genericity of positive exponents of conservative skew products with two-dimensional fibers

Davi Obata, Mauricio Poletti|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用 4

一句话总结

该论文通过中心捆绑和扰动技术，建立了在具有二维纤维的双曲基上，保守斜积系统中正李雅普诺夫指数的 $C^1$-稠密性与 $C^r$-开性。证明了在该类系统的通用 $C^r$-开且 $C^1$-稠密子集中，积分中心李雅普诺夫指数 $L(f) > 0$，从而几乎处处蕴含非一致双曲性。

ABSTRACT

In this paper we study the existence of positive Lyapunov exponents for three different types of skew products, whose fibers are compact Riemannian surfaces and the action on the fibers are by volume preserving diffeomorphisms. These three types include skew products with a volume preserving Anosov diffeomorphism on the basis; or with a subshift of finite type on the basis preserving a measure with product structure; or locally constant skew products with Bernoulli shifts on the basis. We prove the $C^1$-density and $C^r$-openess of the existence of positive Lyapunov exponents on a set of positive measure in the space of such skew products.

研究动机与目标

• 研究在具有二维纤维曲面的保守斜积系统中，正李雅普诺夫指数的通用性。
• 在具有中心捆绑的 $C^r$-部分双曲、体积保测斜积系统空间中，建立正中心李雅普诺夫指数的 $C^1$-稠密性与 $C^r$-开性。
• 通过避免依赖可访问性或完整体积保测结构，将结果推广至阿诺索夫或伯努利基动力系统之外。
• 提供一个适用于有限型子移位上的斜积系统以及具有乘积测度的局部常值胞腔的框架。

提出的方法

• 利用奥赛列杰茨定理在中心方向定义李雅普诺夫指数，并定义积分中心指数 $L(f) = \int \lambda_c^+(x) \, d\text{leb}(x)$。
• 应用中心捆绑以确保线性平移丛的存在，这对扰动论证至关重要。
• 采用 $C^1$-扰动构造具有正 $L(f)$ 的斜积系统，依赖于纤维动力系统中的压紧性特征。
• 改编 [20] 中关于测度收敛与平移映射的技术，证明不变测度的弱$^*$收敛性。
• 使用可测平移映射 $\mathcal{H}_k$ 及其收敛性，建立 $\tilde{m}^k \to \tilde{m}$，确保条件测度的正则性。
• 应用可测选择论证，证明分解 $\tilde{m}_p$ 是 $\mathbf{B}_0$-可测的，从而完成测度论基础的构建。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有中心捆绑的 $C^r$-部分双曲、体积保测斜积系统空间中，正中心李雅普诺夫指数的集合是否具有 $C^1$-稠密性？
• RQ2 该类系统中正 $L(f)$ 的集合是否也具有 $C^r$-开性？
• RQ3 结果能否推广至具有局部乘积结构测度的有限型子移位上的斜积系统？
• RQ4 二维纤维假设能否被移除，以允许更高维纤维？
• RQ5 压紧性特征在该类斜积系统的空间中是否具有 $C^r$-稠密性？

主要发现

• 在具有中心捆绑的 $C^r$-部分双曲、体积保测斜积系统空间中，满足 $L(f) > 0$ 的系统集合具有 $C^1$-稠密性。
• 该集合同样具有 $C^r$-开性，意味着正李雅普诺夫指数在小的 $C^r$-扰动下具有鲁棒性。
• 正 $L(f)$ 的存在性意味着几乎处处具有非一致双曲性，因为对这类系统有 $\lambda_c^+(x) > 0$ 几乎处处成立。
• 该结果适用于三类系统：阿诺索夫微分同胚上的斜积、具有类似乘积测度的有限型子移位上的斜积，以及伯努利移位上具有局部常值的斜积。
• 证明不依赖于可访问性或完整体积保测结构，因此适用范围广于以往结果。
• 作者猜想该结果可推广至更高维纤维，且在一般情况下至少存在一个正李雅普诺夫指数。