[论文解读] On the geodesic problem for the Dirichlet metric and the Ebin metric on the space of Sasakian metrics

Simone Calamai, David Petrecca+1 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 29被引用 7

一句话总结

本文建立了Sasakian度量空间上组合度量的测地线方程的局部适定性，该组合度量由Calabi度量与Dirichlet（梯度）度量之和构成。证明了在Hölder空间中初始数据对应的测地线的存在性、唯一性与光滑性，并表明该和度量自然地作为Ebin度量在Sasakian结构空间上的限制而出现。

ABSTRACT

We study the geodesic equation for the Dirichlet (gradient) metric in the space of Kaehler potentials. We first solve the initial value problem for the geodesic equation of the combination metric, including the gradient metric. We then discuss a comparison theorem between it and the Calabi metric. As geometric motivation of the combination metric, we find that the Ebin metric restricted to the space of type II deformations of a Sasakian structure is the sum of the Calabi metric and the gradient metric.

研究动机与目标

• 解决配备组合度量的Sasakian度量空间中测地线的初值问题。
• 确立Calabi与Dirichlet度量之和在Sasakian几何中的几何意义。
• 证明Ebin度量限制在Sasakian结构的II型形变上恰好等于两倍的和度量。
• 在Hölder空间中证明组合度量的测地线方程的局部适定性。
• 通过Rauch型定理比较梯度度量与Calabi度量的Jacobi场与曲率。

提出的方法

• 将组合度量定义为Kähler势空间上Calabi度量、Dirichlet（梯度）度量与$L^2$度量的线性组合。
• 利用Hölder空间$C^{k,\alpha}$中能量估计的方法，证明组合度量的测地线方程的局部适定性，其中$k \geq 6$。
• 将测地线方程导出为包含Laplacian及其幂次的四阶PDE：$\Delta_\varphi^2 D_t^C \varphi' - \Delta_\varphi D_t^G \varphi' = 0$。
• 利用横椭圆微分算子理论与Green算子$G_\varphi$，刻画和度量的Levi-Civita联络。
• 在曲率有界条件下，建立梯度度量与Calabi度量Jacobi场之间的Rauch型比较定理。
• 证明Ebin度量限制在Sasakian度量空间上恰好等于Calabi与梯度度量之和的两倍。

实验结果

研究问题

• RQ1 组合度量的测地线方程是否对Hölder空间中的给定初始数据存在唯一解？
• RQ2 Dirichlet度量的曲率与Calabi度量的曲率相比如何？这对Jacobi场行为有何影响？
• RQ3 Ebin度量在Sasakian度量空间上的限制是什么？它与Calabi与梯度度量之和有何关系？
• RQ4 Sasakian度量上的和度量能否被理解为从周围Ebin几何自然诱导出的Riemann结构？
• RQ5 是否存在非平凡的测地线，其同时是Calabi与梯度测地线？若否，原因是什么？

主要发现

• 组合度量的Cauchy问题具有局部适定性：对任意$\varphi_0 \in \mathcal{H}$与$\psi_0 \in C^{k,\alpha}(g)$，其中$k \geq 6$，存在唯一的$C^2([0,T], C^{k,\alpha} \cap \mathcal{H})$测地线，从$\varphi_0$出发且初始速度为$\psi_0$。
• 若初始数据$\varphi_0$与$\psi_0$光滑，则测地线解亦为光滑。
• Ebin度量在Sasakian度量空间上的限制恰好等于Calabi与Dirichlet度量之和的两倍。
• 和度量的测地线方程为$\Delta_\varphi^2 D_t^C \varphi' - \Delta_\varphi D_t^G \varphi' = 0$，等价于涉及Laplacian及其幂次的四阶PDE。
• 存在一个Rauch型比较定理：在曲率有界条件下，沿梯度度量测地线的Jacobi场范数满足下界$\frac{|\sin(2t\sqrt{\text{vol}})|}{\sqrt{\text{vol}}}$。
• 不存在非平凡的曲线同时是Calabi与Dirichlet度量的测地线，原因在于其曲率与演化结构不相容。