[论文解读] On the geometric foundation of classical gauge gravitation theory

G. Sardanashvily|ArXiv.org|Jan 22, 2002

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 57被引用 7

一句话总结

本文通过在世界流形上的自然丛上将引力表述为规范理论，建立了经典规范引力理论的几何基础，其中度量（ tetrad）场作为负责自发洛伦兹对称性破缺的希格斯场。关键贡献在于表明，一般线性群 GL(4,R) 结构群约化为洛伦兹群 SO(1,3) 等价于度量丛存在全局截面，从而在规范理论框架下将伪黎曼度量识别为希格斯场。

ABSTRACT

A number of recent works in E-print arXiv have addressed the foundation of gauge gravitation theory again. As is well known, differential geometry of fibre bundles provides the adequate mathematical formulation of classical field theory, including gauge theory on principal bundles. Gauge gravitation theory is formulated on the natural bundles over a world manifold whose structure group is reducible to the Lorentz group. It is the metric-affine gravitation theory where a metric (tetrad) gravitational field is a Higgs field.

研究动机与目标

• 通过澄清微分同胚与规范变换在自然丛背景下的作用，解决将引力表述为规范理论时存在的不一致问题。
• 阐明标准规范理论中关于内部对称性的术语并不直接适用于引力，原因在于存在一般协变（正交）变换。
• 建立广义相对论中的度量引力场在几何上可解释为与自发洛伦兹对称性破缺相关的希格斯场。
• 证明 GL(4,R) 结构群约化为 SO(1,3) 等价于度量丛存在全局截面，即等价于伪黎曼度量的存在。
• 形式化几何等效原理与主丛框架下度量作为希格斯场出现之间的联系。

提出的方法

• 使用纤维丛几何框架，将引力建模为四维定向光滑世界流形 X 上的自然丛。
• 将规范变换定义为提升基流形微分同胚的丛自同构，从而将其与内部规范理论中使用的竖直规范变换区分开来。
• 采用主 GL(4,R)-丛 P → X 的一阶喷层 J¹P，并构造商丛 C = J¹P/G，该丛参数化主联络，作为规范势的丛。
• 建立主丛 P → X 上的主联络与丛 C → X 上的全局截面之间的一一对应关系，其中局部坐标 (x^λ, a^q_λ) 表示规范势。
• 利用伴随丛构造方法，通过结构群的李代数表示，将联络诱导到 P-关联的纤维丛（如向量丛）上。
• 证明 GL(4,R) 结构群约化为 SO(1,3) 等价于商丛 Σ_PR = LX/SO(1,3) 存在全局截面，该丛被识别为度量丛。

实验结果

研究问题

• RQ1 鉴于一般协变性（正交变换）与内部对称性的竖直规范变换不同，如何一致地将引力表述为规范理论？
• RQ2 在规范引力理论中， tetrad（vierbein）场的几何角色是什么？它与仿射联络和 soldering 形式有何关系？
• RQ3 在规范理论框架下，度量场如何作为希格斯场出现？它与自发洛伦兹对称性破缺有何关系？
• RQ4 联络丛的精确数学结构是什么？它与规范势局部系数 a^q_λ 的关系如何？
• RQ5 几何等效原理在自然丛结构群约化为洛伦兹群的背景下如何实现？

主要发现

• 度量引力场在几何上被识别为度量丛 Σ_PR = LX/SO(1,3) 的全局截面，其存在当且仅当主丛 LX 的 GL(4,R) 结构群约化为 SO(1,3)。
• 该约化等价于存在一个约化的洛伦兹结构 L^gX，对应于世界流形 X 上的伪黎曼度量 g。
• 证明度量作为希格斯场，负责将 GL(4,R) 对称性自发破缺为洛伦兹群 SO(1,3)，与几何等效原理一致。
• 联络丛 C → X 被构造为商丛 J¹P/G，其全局截面与主丛 P → X 上的主联络之间存在一一对应关系。
• 连接形式的局部系数 a^q_λ 被识别为理论中的规范势，与规范理论中的标准定义一致。
• 伴随丛构造确保每个 P 上的主联络通过结构群的李代数表示，唯一地诱导出任何 P-关联纤维丛（包括向量丛）上的典范联络。