[论文解读] On the geometry of a proposed curve complex analogue for $Out(F_n)$

Lucas Sabalka, Dmytro Savchuk|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文通过代数表征测地线并构造任意维数的拟平坦子集，研究了边分裂复形 $\mathcal{ES}_n^{1}$，该复形是 $\mathop{\mathrm{Out}}(F_n)$ 的曲线复形类比。关键结果表明，$\mathcal{ES}_n^{1}$ 不是双曲的，具有无限渐近维数，并且在可约 $\mathop{\mathrm{Out}}(F_n)$ 元素作用下存在无界轨道，这意味着 $\mathcal{ES}_n^{1}$ 与其它类比复形（如 $\mathcal{FF}_n^{1}$ 或 $\mathcal{F}_n^{1}$）之间不存在共形等变的拟等距映射，但这一结果仍保留了存在双曲类比的希望。

ABSTRACT

The group $\Out$ of outer automorphisms of the free group has been an object of active study for many years, yet its geometry is not well understood. Recently, effort has been focused on finding a hyperbolic complex on which $\Out$ acts, in analogy with the curve complex for the mapping class group. Here, we focus on one of these proposed analogues: the edge splitting complex $\ESC$, equivalently known as the separating sphere complex. We characterize geodesic paths in its 1-skeleton algebraically, and use our characterization to find lower bounds on distances between points in this graph. Our distance calculations allow us to find quasiflats of arbitrary dimension in $\ESC$. This shows that $\ESC$: is not hyperbolic, has infinite asymptotic dimension, and is such that every asymptotic cone is infinite dimensional. These quasiflats contain an unbounded orbit of a reducible element of $\Out$. As a consequence, there is no coarsely $\Out$-equivariant quasiisometry between $\ESC$ and other proposed curve complex analogues, including the regular free splitting complex $\FSC$, the (nontrivial intersection) free factorization complex $\FFZC$, and the free factor complex $\FFC$, leaving hope that some of these complexes are hyperbolic.

研究动机与目标

• 通过分析映射类群曲线复形的类比候选双曲复形，理解 $\mathop{\mathrm{Out}}(F_n)$ 的几何结构。
• 确定作为 $\mathop{\mathrm{Out}}(F_n)$ 类比的边分裂复形 $\mathcal{ES}_n^{1}$ 是否为双曲的，或是否具有有限渐近维数。
• 研究 $\mathcal{ES}_n^{1}$ 与其他复形（如 $\mathcal{FF}_n^{1}$、$\mathcal{F}_n^{1}$ 和 $\mathcal{FS}_n^{1}$）之间是否存在共形 $\mathop{\mathrm{Out}}(F_n)$-等变的拟等距映射。
• 在 $\mathcal{ES}_n^{1}$ 中构造任意维数的拟平坦子集，以分析其大尺度几何与渐近性质。

提出的方法

• 利用自由分裂的共轭类与边长函数，对 $\mathcal{ES}_n^{1}$ 的 1-骨架中的测地线路径进行代数表征。
• 通过迭代边分裂操作与受控长度增长，构造一个拟等距嵌入 $\psi: \mathbb{Z}^m \to \mathcal{ES}_n^{1}$。
• 利用嵌入 $\psi$ 在 $\mathcal{ES}_n^{1}$ 中生成维数为 $m$ 的拟平坦子集，表明该空间包含任意高维的平坦子空间。
• 比较特定 $\mathop{\mathrm{Out}}(F_n)$-元素 $\phi$ 在 $\mathcal{ES}_n^{1}$ 与 $\mathcal{FF}_n^{1}$ 中的轨道行为，其中 $\phi$ 在 $\mathcal{ES}_n^{1}$ 中作用为无界轨道，但在 $\mathcal{FF}_n^{1}$ 中为有界轨道。
• 应用由测地线表征导出的距离界，建立 $\mathcal{ES}_n^{1}$ 与 $\mathbb{Z}^m$ 之间的拟等距映射，且具有受控畸变。
• 利用轨道无界性与等距群作用，排除 $\mathcal{ES}_n^{1}$ 与其他复形之间的共形等变拟等距映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 边分裂复形 $\mathcal{ES}_n^{1}$ 是否在 Gromov 意义下为双曲的？
• RQ2 $\mathcal{ES}_n^{1}$ 是否具有有限渐近维数，还是在大尺度意义下为无限维？
• RQ3 在 $\mathcal{ES}_n^{1}$ 与自由因子分解复形 $\mathcal{FF}_n^{1}$ 之间，是否存在共形 $\mathop{\mathrm{Out}}(F_n)$-等变的拟等距映射？
• RQ4 $\mathcal{ES}_n^{1}$ 中是否存在任意维数的拟平坦子集？这对其几何结构有何含义？
• RQ5 映射 $\Sigma: \mathcal{ES}_n^{1} \to \mathcal{F}_n^{1}$ 与 $\imath: \mathcal{ES}_n^{1} \to \mathcal{FS}_n^{1}$ 是否为拟等距映射？若否，是否因几何不相容而失败？

主要发现

• 边分裂复形 $\mathcal{ES}_n^{1}$ 不是双曲的，因为存在任意维数的拟平坦子集，这与双曲性矛盾。
• $\mathcal{ES}_n^{1}$ 的渐近维数为无限，且其每个渐近锥均为无限维。
• $\mathcal{ES}_n^{1}$ 中对每个 $m$ 都存在维数为 $m$ 的拟平坦子集，该子集通过拟等距嵌入 $\psi: \mathbb{Z}^m \to \mathcal{ES}_n^{1}$ 构造而成。
• $\mathcal{ES}_n^{1}$ 中存在一个可约 $\mathop{\mathrm{Out}}(F_n)$-元素作用下的无界轨道，但在 $\mathcal{FF}_n^{1}$ 中该轨道为有界，这排除了两者之间存在共形等变拟等距映射的可能性。
• $\Sigma: \mathcal{ES}_n^{1} \to \mathcal{F}_n^{1}$ 不是拟等距映射，且 $\mathcal{ES}_n^{1}$ 与 $\mathcal{F}_n^{1}$ 之间不存在共形 $\mathop{\mathrm{Out}}(F_n)$-等变的拟等距映射。
• 对 $\mathcal{ES}_n^{1}$ 与 $\mathcal{FS}_n^{1}$ 的结论相同，解决了 Bestvina 与 Feighn 提出的问题中关于此类拟等距映射存在的一个反例。