[论文解读] On the geometry of border rank algorithms for matrix multiplication and other tensors with symmetry

J. M. Landsberg, Mateusz Michałek|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2016

Tensor decomposition and applications参考文献 20被引用 7

一句话总结

本文提出了一种用于分析矩阵乘法和对称张量的边界秩算法的几何框架，通过限制到点态希尔伯特概形上的标准型，实现了边界替换方法，将矩阵乘法的边界秩下界提升至 $2n^2 - n + 1$，比先前的界限提高了一位。该方法利用对称性与代数几何，简化了复杂性分析，并克服了在多重幂簇中的结构性障碍。

ABSTRACT

We establish basic information about border rank algorithms for the matrix multiplication tensor and other tensors with symmetry. We prove that border rank algorithms for tensors with symmetry (such as matrix multiplication and the determinant polynomial) come in families that include representatives with normal forms. These normal forms will be useful both to develop new efficient algorithms and to prove lower complexity bounds. We derive a border rank version of the substitution method used in proving lower bounds for tensor rank. We use this border-substitution method and a normal form to improve the lower bound on the border rank of matrix multiplication by one, to 2n^2- n+1. We also point out difficulties that will be formidable obstacles to future progress on lower complexity bounds for tensors because of the "wild" structure of the Hilbert scheme of points.

研究动机与目标

• 通过聚焦于标准型，为矩阵乘法和对称张量的边界秩算法开发一种几何框架。
• 通过限制到点态希尔伯特概形，简化多重幂簇的研究，降低代数几何分析的复杂性。
• 建立张量秩下界中使用的替换方法在边界秩中的类比。
• 改进矩阵乘法张量边界秩的已知下界。
• 识别点态希尔伯特概形中阻碍未来复杂性下界研究的结构性障碍。

提出的方法

• 为对称张量的边界秩算法提出一个标准型引理，表明其可被简化为在单一点上支持的典范形式。
• 将该标准型应用于矩阵乘法和行列式张量，将多重幂簇的研究简化为点态希尔伯特概形。
• 开发一种类似于经典张量秩中替换方法的边界秩替代方法，但适用于边界秩。
• 使用映射 $ (M_{ ext{red}})^{igwedge(n-1)}_{A'} $ 通过楔积和目标空间上的基序来分析秩。
• 在目标空间的基元素上定义字典序，以归纳法证明像张量所有基向量，除了一个。
• 限制到一个维数为 $ 2n-1 $ 的子空间 $ A' o ilde{A} $，以简化诱导映射的秩计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 矩阵乘法等对称张量的边界秩算法能否被简化为典范标准型？
• RQ2 矩阵乘法张量的最小边界秩是多少？能否通过几何技术加以改进？
• RQ3 点态希尔伯特概形的结构如何阻碍张量复杂性下界证明的进展？
• RQ4 能否构建成边界秩版本的替换方法并应用于改进已知界限？
• RQ5 对易矩阵与对称结构在简化多重幂簇几何中的作用是什么？

主要发现

• 矩阵乘法张量 $ M_{ ext{ extless}n ext{ extgreater}} $ 的边界秩下界为 $ 2n^2 - n + 1 $，比先前界限提高了一位。
• 标准型引理表明，对称张量的边界秩算法可假设为在单一点上支持，从而简化分析。
• 边界替换方法成功地将替换技术扩展至边界秩，实现了新的下界。
• 映射 $ (M_{ ext{red}})^{igwedge(n-1)}_{A'} $ 的秩为 $ n inom{2n-1}{n} - 1 $，证实了当 $ n o 3 $ 时的改进下界。
• 关键映射的像张量所有基向量，除了最大元素 $ ([n], n) $，证明其秩比完整维数小一。
• 点态希尔伯特概形的复杂结构被识别为阻碍未来更强下界证明的主要障碍。