[论文解读] On the geometry of higher-order variational problems on Lie groups

Leonardo Colombo, David Martı́n de Diego|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2011

Advanced Differential Geometry Research参考文献 20被引用 18

一句话总结

本文利用左平凡化高阶切丛与适配的Skinner-Rusk形式化，为李群上的高阶变分问题构建了一个内在的几何框架。推导出高阶欧拉-庞加莱方程，并将该框架应用于李群上欠驱动机械系统的最优控制问题，如SO(3)上的刚体，为动力学与控制综合提供了一致且兼容约束的统一表述。

ABSTRACT

In this paper, we describe a geometric setting for higher-order lagrangian problems on Lie groups. Using left-trivialization of the higher-order tangent bundle of a Lie group and an adaptation of the classical Skinner-Rusk formalism, we deduce an intrinsic framework for this type of dynamical systems. Interesting applications as, for instance, a geometric derivation of the higher-order Euler-Poincaré equations, optimal control of underactuated control systems whose configuration space is a Lie group are shown, among others, along the paper.

研究动机与目标

• 为李群上的高阶拉格朗日系统发展一种内在的几何表述。
• 通过李群结构上的变分原理，将欧拉-庞加莱约化推广至高阶力学。
• 将该形式化应用于配置空间为李群的欠驱动机械系统的最优控制问题。
• 通过庞特里亚金丛为高阶动力学提供一致的预辛哈密顿表述。
• 将该框架扩展至离散系统，并未来推广至李代数丛。

提出的方法

• 利用李群的高阶切丛的左平凡化，以李代数元素表示动力学。
• 将Skinner-Rusk形式化适配于高阶系统，结合拉格朗日与哈密顿结构。
• 引入庞特里亚金丛 $ G \times k\mathfrak{g} \times k\mathfrak{g}^* $ 以建模带约束的最优控制问题。
• 应用约束算法，确保哈密顿表述中预辛动力学的一致性。
• 将 $ k $-阶欧拉-庞加莱方程作为一般框架的特例推导。
• 提出该形式化的离散版本，通过三个群的副本定义离散二阶欧拉-拉格朗日方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用Skinner-Rusk形式化，以内在的几何方式表述李群上的高阶变分问题？
• RQ2 在具有欠驱动控制输入的李群上，最优控制问题的动力学几何结构是什么？
• RQ3 所提出的形式化如何从变分原理中恢复并推广高阶欧拉-庞加莱方程？
• RQ4 在李群上高阶系统的预辛哈密顿表述中，一致性所需的必要条件是什么？
• RQ5 该框架能否扩展至离散力学，并推广至李代数丛？

主要发现

• 本文将 $ k $-阶欧拉-庞加莱方程作为所提形式化的几何结果推导出来，与先前变分处理的结果一致。
• 该框架成功建模了在 $ SO(3) $ 上的欠驱动系统最优控制，如卫星姿态控制，对 $ c_1 = 1/2, c_2 = 1/2 $ 和 $ c_1 = 1/2, c_2 = 0 $ 给出了显式解。
• 在奇异情形 $ c_1 = 0, c_2 = 1 $ 下，系统仅允许满足 $ \frac{d\Omega_3}{dt} = 0 $ 的特定轨迹，表明需满足非任意的边界条件。
• 离散表述通过变分 $ L_d: G \times G \times G \to \mathbb{R} $ 得到离散二阶欧拉-拉格朗日方程，边界条件在 $ \Sigma_k $ 上指定。
• 该形式化与约束算法一致，确保了在预辛哈密顿设定下动力学的适定性。
• 作者指出，未来工作将致力于将该框架推广至高阶李代数丛，并实现通过态射的约化。