[论文解读] On the geometry of horseshoes in higher dimensions

Carlos Gustavo Moreira, Waliston Luiz Lopes Rodrigues Silva|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 1被引用 9

一句话总结

本文将此前用于动力系统中一维Cantor集的递归紧集准则扩展至上稳定维数大于1的高维马蹄结构。通过适应概率论与Marstrand型论证方法，证明此类马蹄结构通常且持续地包含递归紧集，从而表明强鲁棒性地存在blenders——这是微分同胚中非双曲鲁棒遍历性的重要结构。

ABSTRACT

The criterion of the recurrent compact set was introduced by Moreira and Yoccoz to prove that stable intersections of regular Cantor sets on the real line are dense in the region where the sum of their Hausdorff dimensions is bigger than 1. We adapt this concept to the context of horseshoes in ambient dimension higher than 2 and prove that horseshoes with upper stable dimension bigger than 1 satisfy, typically and persistently, the adapted criterion of the recurrent compact set. As consequences we show some persistent geometric properties of these horseshoes. In particular, typically and persistently, horseshoes with upper stable dimension bigger than 1 present blenders.

研究动机与目标

• 将递归紧集准则从一维Cantor集扩展至环境维数 >2 的高维马蹄结构。
• 建立上稳定维数 >1 的马蹄结构通常满足所适应的递归紧集准则。
• 证明该准则意味着此类马蹄结构中blenders的持续存在。
• 开发一个使用概率论与Marstrand型论证的框架，以处理维度超过2时稳定叶状结构的光滑性缺失问题。
• 表明上稳定维数作为预测动力学复杂性（包括blender形成）的鲁棒几何不变量。

提出的方法

• 将Moreira与Yoccoz（2000年代）提出的递归紧集准则适应至具有精确切丛分裂的高维马蹄结构：$T_{\Lambda}M = E^{ss} \oplus E^{ws} \oplus E^u$，其中 $\dim(E^{ws}) = 1$。
• 对微分同胚的扰动采用概率论论证，通过测度论估计堆叠构型的出现可能性来建模递归的可能性。
• 应用类似Marstrand的论证方法，控制重正化下各部分投影的大小与分布，确保足够的重叠以实现递归。
• 采用尺度为 $\rho$ 的良好分隔且宽松的堆叠结构，确保不同扰动方向上事件的独立性。
• 引入一个由良好数叶与良好分隔部分构成的候选紧集 $K$，其测度估计基于 $\rho^{-\bar{d}_s}$ 的缩放规律。
• 建立概率下界 $P > 0$，使得扰动后的重正化映射将某点映射至 $K_{-\rho^2}$ 的 $\rho^2$-邻域，从而支持递归概率的指数衰减估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在环境维数大于2的条件下，马蹄结构在何种几何条件下通常表现出递归紧集？
• RQ2 在稳定叶状结构仅为H"older连续的高维系统中，递归紧集准则如何适应？
• RQ3 上稳定维数在预测blender等复杂动力学结构的持久性方面起什么作用？
• RQ4 概率论与几何论证在证明非双曲系统中递归性与遍历性时，能否替代可微性假设？
• RQ5 递归紧集的存在在多大程度上意味着高维马蹄结构中blenders的鲁棒存在？

主要发现

• 通常且持续地，上稳定维数大于1的马蹄结构满足所适应的递归紧集准则。
• 扰动后的重正化映射将某点映射至候选紧集 $K$ 的 $\rho^2$-邻域的概率下界为一正数 $P > 0$。
• 递归概率按 $\exp(-c_{13} \rho^{-\frac{c}{k}(\bar{d}_s - 1)})$ 指数衰减，确保小 $\rho$ 下的强递归性。
• 递归紧集的存在意味着此类马蹄结构中blenders的持续存在。
• 上稳定维数 >1 的马蹄结构通常包含具有精确分裂的子马蹄结构，且仍满足递归准则。
• 上稳定维数是几何复杂性（包括 $C^1$ 函数下像的区间正性）典型出现的充分条件。