[论文解读] On the geometry of quasi-Kaehler manifolds with Norden metric

Dimitar Mekerov, Манчо Манев|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 1被引用 8

一句话总结

本文研究具有 Norden 度量的准凯勒流形的几何性质，这类流形属于几乎复流形的范畴，其几乎复结构不可积且度量为不定号。本文引入并刻画了此类流形的共形凯勒类型，证明了当全纯双截面曲率消失或存在强共形全纯平面时，流形即为共形凯勒型，其关键结果为在这些条件下有 $\|\nabla J\|^2 = 0$。

ABSTRACT

The basic class of the non-integrable almost complex manifolds with Norden metric is considered. Its curvature properties are studied. The isotropic Kaehler type of investigated manifolds is introduced and characterized geometrically.

研究动机与目标

• 研究具有 Norden 度量的准凯勒流形的曲率性质，这是几乎复结构不可积的一类基本几乎复流形。
• 引入并从几何上刻画这些流形的共形凯勒类型，其定义为 $\|\nabla J\|^2 = 0$。
• 研究此类流形满足共形凯勒性质的条件，尤其关注全纯双截面曲率的关系。
• 建立曲率不变量、几乎复结构的协变导数与 $\|\nabla J\|^2$ 消失之间的关系。
• 阐明共形凯勒流形与具有 Norden 度量的凯勒流形之间的区别，表明 $\|\nabla J\|^2 = 0$ 一般并不意味着 $\nabla J = 0$。

提出的方法

• 利用曲率张量 $R$ 及其相关的 $(0,4)$-张量分析 $\mathcal{W}_3$-流形的几何性质。
• 应用张量 $F(X,Y,Z) = g((\nabla_X J)Y, Z)$ 及其对称性，通过 $\mathfrak{S}_{x,y,z} F(x,y,z) = 0$ 来刻画 $\mathcal{W}_3$ 类。
• 引入李形式 $\theta(z) = g^{ij} F(e_i, e_j, z)$，并用其定义曲率不变量及分类流形。
• 推导涉及 $\nabla F$ 和 $\nabla J$ 的恒等式，特别是恒等式 $\|\nabla J\|^2 = -2(\tau + \tau^{**})$，其中 $\tau$ 为数量曲率，$\tau^{**} = g^{ij}g^{kl}R(e_i,e_k,Je_l,Je_j)$。
• 通过 $R(x,Jx,y,Jy)$ 定义全纯双截面曲率 $h(x,y)$，并用其分析曲率消失的条件。
• 应用第一比安基恒等式与循环和恒等式，推导出 $\|\nabla J\|^2 = 0$ 的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有 Norden 度量的 $\mathcal{W}_3$-流形满足共形凯勒条件 $\|\nabla J\|^2 = 0$？
• RQ2 在 $\mathcal{W}_3$-流形中，全纯双截面曲率 $h(x,y)$ 与曲率张量 $R(x,Jx,y,Jy)$ 之间有何关系？
• RQ3 在 $\mathcal{W}_3$-流形中，何种几何条件可推出对所有 $x,y$ 有 $R(x,Jx,y,Jy) = 0$？
• RQ4 若对所有 $x,y$ 有 $R(x,Jx,y,Jy) = 0$，是否可推出流形为共形凯勒型，即使 $\nabla J \neq 0$？
• RQ5 在 $\mathcal{W}_3$-流形中，凯勒曲率张量性质 $R(X,Y,JZ,JU) = -R(X,Y,Z,U)$ 与共形凯勒条件之间有何关系？

主要发现

• 共形凯勒类型被引入为一类具有 Norden 度量的几乎复流形，其定义为 $\|\nabla J\|^2 = 0$，该条件严格弱于凯勒条件 $\nabla J = 0$。
• 对于 $\mathcal{W}_3$-流形，$R(x,Jx,y,Jy) = 0$ 当且仅当以下至少一个条件成立：$h(x,y) = 0$，$\{x,Jx\}$ 为强共形平面，或 $\{y,Jy\}$ 为强共形平面。
• 若对所有 $x,y \in T_pM$ 有 $R(x,Jx,y,Jy) = 0$，则 $\|\nabla J\|^2 = 0$，因此流形为共形凯勒型。
• 恒等式 $\|\nabla J\|^2 = -2(\tau + \tau^{**})$ 对任意 $\mathcal{W}_3$-流形成立，其中 $\tau$ 为数量曲率，$\tau^{**} = g^{ij}g^{kl}R(e_i,e_k,Je_l,Je_j)$。
• 若 $\mathcal{W}_3$-流形具有凯勒曲率张量，则其为共形凯勒型，因为曲率对称性可推出 $\|\nabla J\|^2 = 0$。
• 条件 $\|\nabla J\|^2 = 0$ 并不蕴含 $\nabla J = 0$，因此共形凯勒流形是 $\mathcal{W}_3$-流形的一个真子类。