[论文解读] On the geometry of Riemannian manifolds with density

William Wylie, Dmytro Yeroshkin|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 23被引用 25

一句话总结

本文通过使用与Levi-Civita联络射影等价的无 torsion 的仿射联络 $\nabla^\alpha$，为带有密度的黎曼流形引入了一套新的几何框架，该框架自然导出1-Bakry-Émery Ricci张量。关键贡献是针对该联络的广义体积与Laplacian比较定理，由此推导出新的Myers'定理与Cheng的直径刚性定理，以及关于加权holonomy的de Rham型分裂定理，其中取代等距积结构的是扭曲积结构。

ABSTRACT

We introduce a new geometric approach to a manifold equipped with a smooth density function that takes a torsion-free affine connection, as opposed to a weighted measure or Laplacian, as the fundamental object of study. The connection motivates new versions of the volume and Laplacian comparison theorems that are valid for the 1-Bakry-Emery Ricci tensor, a weaker assumption than has previously been considered in the literature. As applications we prove new generalizations of Myers' theorem and Cheng's diameter rigidity result. We also investigate the holonomy groups of the weighted connection. We show that they are more general than the Riemannian holonomy, but also exhibit some of the same structure. For example, we obtain a generalization of the de Rham splitting theorem as well as new rigidity phenomena for parallel vector fields. A general feature of all of our rigidity results is that warped or twisted product splittings are characterized, as opposed to the usual isometric products.

研究动机与目标

• 通过将无 torsion 的仿射联络 $\nabla^\alpha$ 视为基本几何对象，而非加权测度或Laplacian，发展一种研究带密度黎曼流形的新几何方法。
• 为1-Bakry-Émery Ricci张量建立体积与Laplacian比较定理，其曲率假设弱于文献中先前使用的条件。
• 在1-Bakry-Émery Ricci曲率条件下，推广Myers定理与Cheng的直径刚性结果。
• 研究加权联络 $\nabla^\alpha$ 的holonomy群，表明其比黎曼holonomy更一般，但仍允许分裂定理与刚性现象。
• 在刚性结果中刻画扭曲积或扭积结构的分裂，取代通常的等距积结构。

提出的方法

• 通过一形式 $\alpha$ 定义无 torsion 的仿射联络 $\nabla^\alpha$，使其与Levi-Civita联络 $\nabla$ 射影等价，公式为 $\nabla^\alpha_U V = \nabla_U V - \alpha(U)V - \alpha(V)U$。
• 证明 $\nabla^\alpha$ 的Ricci曲率等于1-Bakry-Émery Ricci张量 $\mathrm{Ric}_f^1 = \mathrm{Ric}_g + \mathrm{Hess}f + \frac{df \otimes df}{n-1}$，从而建立与加权曲率的直接联系。
• 利用联络 $\nabla^\alpha$ 定义新的加权截面曲率概念，并基于 $\mathrm{Ric}_f^1$ 推导出体积与Laplacian的比较定理。
• 分析 $\nabla^\alpha$ 的holonomy群 $\mathrm{Hol}^\alpha(M,g)$，证明若holonomy群紧致，则流形上存在Codazzi张量。
• 证明：若 $\mathrm{Hol}^\alpha$ 紧致且 $\overline{\sec}_\varphi > 0$，则对任意与 $\nabla^\alpha$ 兼容的度量 $\widetilde{g}$，有 $\sec_{\widetilde{g}} > 0$，且对非负、负或非正曲率情形亦成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将无 torsion 的仿射联络作为研究带密度流形的基本几何对象，而非加权测度或Laplacian？
• RQ2 使用1-Bakry-Émery Ricci张量作为曲率条件有何影响，尤其与更严格的 $N$-Bakry-Émery 情形相比如何？
• RQ3 $\nabla^\alpha$ 的加权联络的holonomy群行为如何？其结构可导出哪些刚性结果？
• RQ4 de Rham分裂定理能否推广至加权情形？若可，出现何种积结构（等距积 vs. 扭曲积）？
• RQ5 原始度量上的Codazzi张量与相对于联络 $\nabla^\alpha$ 的Codazzi张量之间有何关系？这对曲率刚性有何影响？

主要发现

• 联络 $\nabla^\alpha$ 的Ricci曲率恰好等于1-Bakry-Émery Ricci张量 $\mathrm{Ric}_f^1$，从而为这一曲率对象提供了直接的几何实现。
• 证明了针对1-Bakry-Émery Ricci张量的新体积与Laplacian比较定理，其有效性基于弱于先前已知的曲率假设。
• 建立了广义的Myers'定理：若 $\mathrm{Ric}_f^1 > 0$，则流形具有有限直径，推广了经典结果。
• 证明了广义的Cheng直径刚性定理：若 $\mathrm{Ric}_f^1 \geq (n-1)k > 0$，则直径至多为 $\pi / \sqrt{k}$，且等号成立当且仅当流形等距于球面。
• 证明了de Rham型分裂定理：若holonomy群 $\mathrm{Hol}^\alpha$ 紧致，则流形可分裂为扭曲积，不一定是等距积。
• 若 $\mathrm{Hol}^\alpha$ 紧致且 $\overline{\sec}_\varphi > 0$，则对任意与 $\nabla^\alpha$ 兼容的度量 $\widetilde{g}$，有 $\sec_{\widetilde{g}} > 0$，且对非负、负或非正曲率情形亦成立。