[论文解读] On the Geometry of Tangent Bundles with the Rescaled Metric

Jian Wang, Yong Wang|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用 14

一句话总结

本文研究了在黎曼流形上配备缩放后的Sasaki度量与Cheeger-Gromoll度量的切丛的微分几何。它推导出在这些缩放度量下Levi-Civita联络与黎曼曲率张量的显式公式，并刻画了测地线与截面曲率，特别表明切丛上的数量曲率依赖于原流形的曲率及缩放函数。

ABSTRACT

For a Riemannian manifold $M$, we determine some curvature properties of a tangent bundle equipped with the rescaled metric.The main aim of this paper is to give explicit formulae for the rescaled metric on $TM$, and investigate the geodesics on the tangent bundle with respect to the rescaled Sasaki metric.

研究动机与目标

• 为黎曼流形 $(M,g)$ 的切丛 $TM$ 上的缩放度量建立一个通用框架，扩展Sasaki度量与Cheeger-Gromoll度量。
• 计算切丛上缩放Sasaki度量的Levi-Civita联络与黎曼曲率张量。
• 分析切丛上缩放Sasaki度量下的测地线。
• 研究配备缩放Cheeger-Gromoll度量的切丛的曲率性质——尤其是截面曲率与数量曲率。
• 建立 $(M,g)$ 的几何不变量与 $(TM, \tilde{g}^f)$ 的几何不变量之间的显式关系，特别是在常曲率假设下。

提出的方法

• 通过在 $M$ 上使用光滑正函数 $f$ 对水平与垂直分量进行缩放，引入了 $TM$ 上的一类自然缩放度量 $\bar{g}^f$。
• 利用Koszul公式推导出 $TM$ 上的Levi-Civita联络 $\overline{\nabla}^f$，将其分量表示为 $f$、$M$ 上的Levi-Civita联络 $\nabla$ 以及 $M$ 的黎曼曲率张量 $R$ 的函数。
• 利用所推导出的联络与曲率分量，计算缩放Sasaki度量的黎曼曲率张量 $\hat{R}^f$。
• 通过求解由缩放Sasaki度量导出的测地线方程，分析 $TM$ 上的测地线，重点关注缩放函数 $f$ 的作用。
• 对于缩放Cheeger-Gromoll度量 $\tilde{g}^f$，推导出截面曲率 $\tilde{K}^f$ 的显式表达式，其涉及原曲率 $\kappa$、缩放函数 $f$ 以及几何数据如 $g(u,X)$。
• 将 $(TM, \tilde{g}^f)$ 的数量曲率 $\tilde{S}^f$ 计算为原数量曲率 $S$、曲率收缩项 $|R(e_i,e_j)u|^2$ 以及涉及参数 $\alpha$ 与维数 $m$ 的项之和。

实验结果

研究问题

• RQ1 当通过光滑正函数 $f$ 对Sasaki度量进行一般缩放时，切丛 $TM$ 的Levi-Civita联络与曲率张量如何变化？
• RQ2 当切丛配备缩放Sasaki度量时，其测地线方程是什么？它们如何依赖于基流形 $M$ 的几何结构？
• RQ3 当 $M$ 具有常截面曲率时，配备缩放Cheeger-Gromoll度量的切丛 $TM$ 的截面曲率的显式公式是什么？
• RQ4 配备缩放Cheeger-Gromoll度量的切丛 $TM$ 的数量曲率如何与基流形 $M$ 的数量曲率及曲率张量相关？
• RQ5 在 $TM$ 上的缩放度量结构下，$M$ 的哪些几何不变量被保持或被变换？

主要发现

• 在缩放Sasaki度量下，$TM$ 上的Levi-Civita联络 $\overline{\nabla}^f$ 完全由涉及 $f$、$\nabla$ 与曲率张量 $R$ 的分量表征，其中混合的水平-垂直项涉及 $R(X,Y)u$。
• 对于具有常截面曲率 $\kappa$ 的流形，配备缩放Cheeger-Gromoll度量的 $TM$ 的截面曲率 $\tilde{K}^f$ 显式给出为 $\frac{1}{f^3}\kappa - \frac{3\kappa^2}{4\alpha f^4}(g(u,X)^2 + g(u,Y)^2) + \frac{1}{f^2}\tilde{L}^f(X,Y)$，适用于水平向量对。
• 对于正交的 $X,Y$，垂直向量对的截面曲率 $\tilde{K}^f(X^h, Y^v)$ 为 $\frac{1}{4\alpha f^3}\frac{\kappa^2 g(X,u)^2}{1 + g(Y,u)^2}$，显示出对 $\kappa$ 与纤维中位置 $u$ 的依赖。
• 对于垂直向量，截面曲率 $\tilde{K}^f(X^v, Y^v)$ 为 $\frac{1 - \alpha}{\alpha^2} + \frac{2 + \alpha}{\alpha} \frac{1}{1 + g(Y,u)^2 + g(X,u)^2}$，其与曲率无关，但依赖于 $\alpha$ 与纤维范数。
• 配备缩放Cheeger-Gromoll度量的 $TM$ 的数量曲率 $\tilde{S}^f$ 为 $S_p + \frac{2\alpha - 3}{4\alpha f^4} \sum_{i,j=1}^m |R(e_i,e_j)u|^2 + \frac{1}{f^2} \sum_{i,j=1}^m \tilde{L}^f(X,Y) + \frac{m-1}{\alpha^2}[6 + (m-2)(\alpha^2 + \alpha + 1)]$，显示出对 $f$、$\alpha$ 与曲率的复杂依赖关系。
• 对于 $T_{(p,u)}TM$ 的正交基，显式计算出截面曲率 $\tilde{K}^f(t_i,t_{m+k}) = \frac{1}{4f^3}|R(u,e_k)e_i|^2$ 与 $\tilde{K}^f(t_{m+1},t_{m+k}) = \frac{3}{\alpha^2}$，揭示了非平凡的纤维依赖行为。