[论文解读] On the geometry of the $B$-connection on quasi-Kähler manifolds with Norden metric

Dimitar Mekerov|ArXiv.org|Apr 25, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 5

一句话总结

本文研究了具有 Norden 度量的拟凯勒流形上的 $B$-联络，推导出其曲率张量为凯勒型的充要条件。研究结果表明，$B$-联络的曲率张量 $K$ 为凯勒型当且仅当涉及黎曼曲率张量与张量 $P$ 的特定循环和条件成立；此外，在 4 维情形下，当 $K$ 为凯勒型时，曲率张量可分解为标准形式。

ABSTRACT

The $B$-connection on almost complex manifolds with Norden metric is an analogue of the first canonical connection of Lihnerovich in Hermitian geometry. In the present paper it is considered a $B$-connection in the class of the quasi-Kähler manifold with Norden metric. Some necessary and sufficient conditions are derived for the corresponding curvature tensor to be Kählerian. Curvature properties for this connection are obtained. Conditions are given for the considered manifolds to be isotropic-Kähler.

研究动机与目标

• 分析具有 Norden 度量的拟凯勒流形上 $B$-联络的几何性质。
• 推导 $B$-联络曲率张量为凯勒型的充要条件。
• 研究在交类 $\mathcal{W}_3 \cap \mathcal{L}_2$ 中的曲率恒等式与数量曲率关系。
• 确定此类流形为各向同性凯勒型（即 $\|\nabla J\|^2 = 0$）的条件。
• 探讨当 $B$-联络曲率为凯勒型时，4 维情形下曲率的分解行为。

提出的方法

• 通过公式 $D_x y = \nabla_x y + \frac{1}{2}(\nabla_x J)Jy$ 引入 $B$-联络，该联络保持 $J$ 与 $g$ 不变。
• 利用黎曼曲率张量 $R$ 与张量 $Q(y,z) = \frac{1}{2}(\nabla_y J)Jz$ 推导 $B$-联络的曲率张量 $K$。
• 将 $K(x,y,z,w)$ 表示为 $R(x,y,z,w)$、$\nabla Q$ 与 $Q$-项的组合，得出关键公式 (2.7)：$K = \frac{1}{4}\{2R - 2R(\cdot,\cdot,J\cdot,J\cdot) + P\}$。
• 定义张量 $P(x,y,z,w) = g((\nabla_x J)z, (\nabla_y J)w) - g((\nabla_y J)z, (\nabla_x J)w)$，该张量捕捉了几乎复结构的非可积性。
• 应用第一 Bianchi 恒等式与对称性性质，分析 $K$ 满足凯勒条件 $K(x,y,Jz,Jw) = -K(x,y,z,w)$ 的情形。
• 利用 Ricci 曲率与数量曲率恒等式，建立 $\tau$、$\tau(K)$、$\tau(P)$ 与 $\|\nabla J\|^2$ 之间的关系，得出 $\tau = \tau(K) - \frac{1}{8}\|\nabla J\|^2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathcal{W}_3$ 流形上，$B$-联络的曲率张量在何种条件下为凯勒型？
• RQ2 $B$-联络的曲率如何与黎曼曲率张量及张量 $P$ 相关？
• RQ3 当 $B$-联络曲率为凯勒型时，在 $\mathcal{W}_3 \cap \mathcal{L}_2$ 中存在哪些数量曲率恒等式？
• RQ4 何时一个 $\mathcal{W}_3$ 流形为各向同性凯勒型？这与 $B$-联络的数量曲率有何关联？
• RQ5 在 $\mathcal{W}_3 \cap \mathcal{L}_2$ 的 4 维流形中，当 $B$-联络曲率为凯勒型时，曲率分解行为如何？

主要发现

• 在 $\mathcal{W}_3$ 流形上，$B$-联络的曲率张量 $K$ 为凯勒型当且仅当 $2\mathfrak{S}_{x,y,z}R(x,y,Jz,Jw) = \mathfrak{S}_{x,y,z}P(x,y,z,w)$，如定理 2.3 所述。
• 在 $\mathcal{W}_3 \cap \mathcal{L}_2$ 类中，$B$-联络曲率 $K$ 为凯勒型当且仅当张量 $P$ 本身也为凯勒型，根据定理 2.4。
• 当 $K$ 为凯勒型时，张量 $H(x,y,z,w) = R(x,y,z,w) - R(x,y,Jz,Jw)$ 也为凯勒型，如推论 2.5 所示。
• Levi-Civita 联络的数量曲率 $\tau$ 满足 $\tau = \tau(K) - \frac{1}{8}\|\nabla J\|^2$，由 (3.5) 推导得出，该式将 $\tau(K)$ 与 $\|\nabla J\|^2$ 联系起来。
• 张量 $P$ 的数量曲率满足 $\tau(P) = -\frac{1}{2}\|\nabla J\|^2$，如 (3.4) 所确立，这对数量曲率恒等式至关重要。
• 在 4 维 $\mathcal{W}_3 \cap \mathcal{L}_2$ 流形中，当 $K$ 为凯勒型时，曲率 $H$ 可分解为 $H = \frac{4\tau(K) - \tau(P)}{16}(\pi_1 - \pi_2) + \frac{4\tau^*(K) - \tau^*(P)}{16}\pi_3$，如命题 3.2 所示。