[论文解读] On the Global Behavior of Solutions to a Planar System of Difference Equations

Sukanya Basu, Orlando Merino|ArXiv.org|Dec 17, 2008

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 10被引用 11

一句话总结

本文分析了一个平面有理差分方程组的全局动力学，该方程组建模了一种具有迁入的种间竞争生物相互作用，其中每个物种的生长受种内和种间竞争的调控。通过临界曲线分析和局部稳定性准则，作者证明了平衡点的数量——一个、两个或三个——唯一决定了全局行为：一个平衡点意味着全局渐近稳定，而三个平衡点则由两个局部吸引子和一个鞍点组成，按东南偏序关系排序。

ABSTRACT

We establish the relation between local stability of equilibria and slopes of critical curves for a specific class of difference equations. We then use this result to give global behavior results for nonnegative solutions of the system of difference equations \begin{equation*} % ag{LGIN} \begin{array}{rcl} x_{n+1} & = & \displaystyle \frac{b_1 x_n}{1+x_n+c_1 y_{n}} +h_1 y_{n+1} & = & \displaystyle \frac{b_2 y_n}{1+y_n+c_2 x_{n}} +h_2 \end{array} \quad n=0,1,..., \quad (x_0,y_0) \in [0,\infty) imes [0,\infty) \end{equation*} with positive parameters. In particular, we show that the system has between one and three equilibria, and that the number of equilibria determines global behavior as follows: if there is only one equilibrium, then it is globally asymptotically stable. If there are two equilibria, then one is a local attractor and the other one is nonhyperbolic. If there are three equilibria, then they are linearly ordered in the south-east ordering of the plane, and consist of a local attractor, a saddle point, and another local attractor. Finally, we give sufficient conditions for having a unique equilibrium.

研究动机与目标

• 建立一个几何准则，将平面差分方程中平衡点的局部稳定性与临界曲线的斜率联系起来。
• 分析带有迁入项（正的常数 h₁, h₂）的修正 Leslie-Gower 模型的全局动力学。
• 确定平衡点数量（1、2 或 3）如何决定非负解的全局渐近行为。
• 为系统中唯一平衡点的存在提供充分条件。

提出的方法

• 通过临界曲线的几何分析和雅可比矩阵符号构型，推导出平衡点的局部稳定性条件。
• 通过变量缩放将原系统转化为标准化形式（LGIN），以简化分析。
• 应用贝祖定理及四次和三次方程的根分析，确定平衡点的数量及其符号结构。
• 使用东南偏序关系（≤se）分析正象限中平衡点的排序与稳定性。
• 采用变量变换（x = X + h₁, y = Y + h₂）在变换后的坐标系中研究平衡点集。
• 分析所得多项式方程根的符号结构，以排除不可能的平衡点构型。

实验结果

研究问题

• RQ1 系统中平衡点的数量如何影响解的全局稳定性和吸引性？
• RQ2 何种几何或代数条件决定了一个平衡点是局部稳定、非双曲还是鞍点？
• RQ3 系统是否可能具有多个全局吸引的平衡点？若可能，在何种参数条件下？
• RQ4 在何种条件下系统存在唯一平衡点，且该平衡点是否全局渐近稳定？
• RQ5 迁入项（h₁, h₂）和竞争系数（c₁, c₂）如何影响平衡点的数量与稳定性？

主要发现

• 若系统仅有一个平衡点，则对所有非负初始条件，该平衡点均为全局渐近稳定。
• 当存在两个平衡点时，其中一个为局部吸引子，另一个为非双曲点，且无稳定流形。
• 当存在三个平衡点时，它们在东南偏序关系下线性有序，且由两个局部吸引子和一个鞍点构成。
• 系统最多存在三个平衡点，其符号结构受贝祖定理和根积分析的约束。
• 当 c₁c₂ > 1 时，或当 c₁c₂ ≤ 1 且在变换后的系统中某些三次或四次方程恰有一个正根时，存在唯一平衡点。
• 提供了存在唯一平衡点的充分条件：要么 c₁c₂ > 1，要么 c₁c₂ ≤ 1 且导出多项方程的根积具有特定符号构型。