[论文解读] On the global solution problem for semilinear generalized Tricomi equations, I

Daoyin He, Ingo Witt+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 23被引用 3

一句话总结

该论文为半线性广义Tricomi方程 $ \partial_t^2 u - t^m \Delta u = |u|^p $ 确立了临界指数 $ p_{\text{crit}}(m,n) > 1 $，证明当 $ 1 < p < p_{\text{crit}}(m,n) $ 时解在有限时间内爆破；并引入一个共形指数 $ p_{\text{conf}}(m,n) > p_{\text{crit}}(m,n) $，使得当 $ p > p_{\text{conf}}(m,n) $ 时小初值解全局存在，其证明基于加权函数空间框架下的Strichartz估计与基于 $ L^p $ 的迭代方法。

ABSTRACT

In this paper, we are concerned with the global Cauchy problem for the semilinear generalized Tricomi equation $\partial_t^2 u-t^m Δu=|u|^p$ with initial data $(u(0,\cdot), \partial_t u(0,\cdot))= (u_0, u_1)$, where $t\geq 0$, $x\in{\mathbb R}^n$ ($n\ge 3$), $m\in\mathbb N$, $p&gt;1$, and $u_i\in C_0^{\infty}({\mathbb R}^n)$ ($i=0,1$). We show that there exists a critical exponent $p_{ ext{crit}}(m,n)&gt;1$ such that the solution $u$, in general, blows up in finite time when $1 p_{ ext{crit}}(m,n)$ such that the solution $u$ exists globally when $p&gt;p_{ ext{conf}}(m,n)$ provided that the initial data is small enough. In case $p_{ ext{crit}}(m,n)

研究动机与目标

• 确定一个临界指数 $ p_{\text{crit}}(m,n) > 1 $，使得半线性广义Tricomi方程的解在 $ 1 < p < p_{\text{crit}}(m,n) $ 时在有限时间内爆破。
• 识别一个共形指数 $ p_{\text{conf}}(m,n) > p_{\text{crit}}(m,n) $，使得当 $ p > p_{\text{conf}}(m,n) $ 时小初值解在时间上全局存在。
• 为后续论文中处理中间范围 $ p_{\text{crit}}(m,n) < p \leq p_{\text{conf}}(m,n) $ 的小初值解全局存在性问题奠定分析基础。
• 将Strauss猜想框架推广至含时变系数 $ t^m \Delta u $ 的情形，从而推广标准波动方程与耗散波动方程的相关结果。

提出的方法

• 作者采用一系列迭代逼近 $ u_k $，在依赖于 $ m $ 和 $ n $ 的加权 $ L^r $-函数空间中构造解。
• 他们使用涉及Riesz位势 $ |D_x|^{\sigma} $ 的加权 $ L^p $-范数，以控制非线性项的正则性。
• 关键步骤包括应用Kato型不等式（4.12）的变体，将非线性项 $ |u_k|^p $ 用 $ u_k $ 的分数阶导数进行估计。
• 证明依赖于在小初值假设下，序列 $ M_k $（定义为 $ u_k $ 的加权 $ L^q $-范数的上确界）的统一有界性。
• 通过满足 $ N_{k+1} \leq \frac{1}{2} N_k $ 的界，利用压缩映射原理证明序列 $ u_k $ 在 $ L^{q_0} $ 中收敛，从而保证极限处的强收敛性。
• 分析结合了适用于广义Tricomi算子的Strichartz型估计，以及Lorentz型空间中的插值技术。

实验结果

研究问题

• RQ1 临界指数 $ p_{\text{crit}}(m,n) $ 是什么？它是否将半线性广义Tricomi方程的有限时间爆破与潜在的全局存在性区分开来？
• RQ2 是否存在一个共形指数 $ p_{\text{conf}}(m,n) > p_{\text{crit}}(m,n) $，使得当 $ p > p_{\text{conf}}(m,n) $ 时小初值解全局存在？
• RQ3 主部中的时变系数 $ t^m $ 相较于标准波动方程，如何影响解的存在性与爆破行为？
• RQ4 Strauss猜想框架能否推广至形如 $ t^m \Delta u $ 的变系数方程？
• RQ5 在中间范围 $ p_{\text{crit}}(m,n) < p \leq p_{\text{conf}}(m,n) $ 中，全局存在的精确阈值是什么？该阈值如何通过迭代方法逼近？

主要发现

• 存在一个临界指数 $ p_{\text{crit}}(m,n) > 1 $，使得当 $ 1 < p < p_{\text{crit}}(m,n) $ 时，广义Tricomi方程的解通常在有限时间内爆破。
• 存在一个共形指数 $ p_{\text{conf}}(m,n) > p_{\text{crit}}(m,n) $，使得当 $ p > p_{\text{conf}}(m,n) $ 时，小初值解在时间上全局存在。
• 当 $ p $ 为整数且 $ p \geq \frac{(m+2)(n-2)+6}{(m+2)(n-2)-2} $ 时，临界指数满足 $ p_{\text{crit}}(m,n) = \frac{(m+2)(n-2)+6}{(m+2)(n-2)-2} $。
• 当 $ p > p_{\text{conf}}(m,n) $ 时，通过在 $ L^{q_0} $ 中收敛的迭代方案证明了解 $ u $ 全局存在，且序列 $ M_k $ 保持一致有界。
• 证明依赖于改进的Strichartz型估计与一个分数阶导数不等式（4.12），以控制迭代构造中非线性项 $ |u|^p $ 的行为。
• 通过压缩映射原理证明迭代序列 $ u_k $ 收敛于解 $ u $，并得到 $ \|u_{k+1} - u_k\|_{L^{q_0}} \leq \frac{1}{2} \|u_k - u_{k-1}\|_{L^{q_0}} $，在小初值条件下成立。