[论文解读] On the global solvability of the axisymmetric Boussinesq system with critical regularity

Haroune Houamed, Mohamed Zerguine|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2020

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 50被引用 5

一句话总结

本文在临界正则性条件下建立了三维轴对称Boussinesq系统在零扩散率情况下的全局适定性：初始速度属于 $ H^{1/2} \cap \dot{B}^{0}_{3,1} $，初始密度属于 $ L^2 \cap \dot{B}^{0}_{3,1} $。通过借鉴N-S方程分析的精细 $ L^p_t(L^q_x) $-型框架，并结合贝索夫空间中的Gronwall型估计，作者在缺乏扩散性的情况下实现了全局存在性与唯一性，扩展了[14, 24]中的先前结果。

ABSTRACT

The current paper is principally motivated by establishing the global well-posedness to the three-dimensional Boussinesq system with zero diffusivity in the setting of axisymmetric flows without swirling with $v_0\\in H^{\\frac12}(\\mathbb{R}^3)\\cap \\dot{B}^{0}_{3,1}(\\mathbb{R}^3)$ and density $\ ho_0\\in L^2(\\mathbb{R}^3)\\cap \\dot{B}^{0}_{3,1}(\\mathbb{R}^3)$. This respectively enhances the two results recently accomplished in \\cite{Danchin-Paicu1, Hmidi-Rousset}. Our formalism is inspired, in particular for the first part from \\cite{Abidi} concerning the axisymmetric Navier-Stokes equations once $v_0\\in H^{\\frac12}(\\mathbb{R}^3)$ and external force $f\\in L^2_{loc}\\big(\\mathbb{R}_{+};H^{\\beta}(\\mathbb{R}^3)\\big)$, with $\\beta>\\frac14$. This latter regularity on $f$ which is the density in our context is helpless to achieve the global estimates for Boussinesq system. This technical defect forces us to deal once again with a similar proof to that of \\cite{Abidi} but with $f\\in L^{\\beta}_{loc}\\big(\\mathbb{R}_{+};L^2(\\mathbb{R}^3))$ for some $\\beta>4$. Second, we explore the gained regularity on the density by considering it as an external force in order to apply the study already obtained to the Boussinesq system.

研究动机与目标

• 在最小正则性假设下，建立三维轴对称Boussinesq系统在零扩散率下的全局适定性。
• 通过处理速度的临界空间 $ H^{1/2} \cap \dot{B}^{0}_{3,1} $ 和密度的临界空间 $ L^2 \cap \dot{B}^{0}_{3,1} $，扩展[14, 24]中的先前结果。
• 通过将密度视为外部力并应用精细的 $ L^p_t(L^q_x) $ 估计，克服缺乏扩散性的技术挑战。
• 通过针对Boussinesq系统改进[1]中的方法，开发一种新的框架，用于在临界贝索夫范数下估计速度与密度。

提出的方法

• 将[1]中用于轴对称N-S方程的 $ L^p_t(L^q_x) $-型框架适配至具有 $ f \in L^\beta_{\text{loc}}(\mathbb{R}_+; L^2) $，$ \beta > 4 $ 的Boussinesq系统，而非 $ H^\beta $，以处理密度作为强迫项。
• 利用Bony的抛积分解与Littlewood-Paley理论，估计 $ \dot{B}^{1}_{3,1} $ 与 $ \dot{B}^{0}_{3,1} $ 空间中的非线性项。
• 对量 $ \mathcal{V}(t) = \|v\|_{\widetilde{L}^1_t(\dot{B}^1_{3,1})} $ 应用Gronwall不等式，通过依赖于初始数据与能量型范数的 $ \mathcal{A}(t) $ 和 $ \mathcal{B}(t) $，获得时间指数有界性。
• 通过迭代估计与嵌入定理，建立对 $ v $ 在 $ \widetilde{\mathcal{E}}_t(\dot{B}^0_{3,1}) $ 与 $ \rho $ 在 $ \widetilde{L}^\infty_t(\dot{B}^0_{3,1}) $ 中的控制。
• 利用嵌入 $ E_T(H^{1/2}) \hookrightarrow L^4_T(\dot{H}^1) $，在估计中连接能量范数与贝索夫空间范数。
• 通过将[14]中的论证适配至一般系统，估计两个解的差在 $ \dot{B}^{-1}_{3,1} \times \dot{B}^{-1}_{3,1} $ 中的大小，而不依赖双线性结构，从而证明唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在初始数据的临界正则性假设下，能否为三维轴对称Boussinesq系统在零扩散率下建立全局适定性？
• RQ2 当标准 $ H^\beta $ 强迫估计失效时，如何在分析中克服缺乏扩散性的问题？
• RQ3 何种精细函数空间框架可使速度与密度在临界贝索夫范数下得到控制，即使密度方程中缺乏光滑性？
• RQ4 在临界空间设定 $ H^{1/2} \cap \dot{B}^0_{3,1} \times L^2 \cap \dot{B}^0_{3,1} $ 中，解是否唯一？
• RQ5 当强迫项（密度）属于 $ L^\beta_t(L^2_x) $，$ \beta > 4 $，而非 $ H^\beta $ 时，能否将N-S方程中使用的方法适配至Boussinesq系统？

主要发现

• 对于初始数据 $ v_0 \in H^{1/2}(\mathbb{R}^3) \cap \dot{B}^0_{3,1}(\mathbb{R}^3) $ 与 $ \rho_0 \in L^2(\mathbb{R}^3) \cap \dot{B}^0_{3,1}(\mathbb{R}^3) $，本文建立了三维轴对称Boussinesq系统在零扩散率下的全局存在性与唯一性。
• 证明了速度满足 $ \|v\|_{\widetilde{L}^1_t(\dot{B}^1_{3,1})} \lesssim \mathcal{A}(t) e^{t \mathcal{B}(t)} $，其中 $ \mathcal{A}(t) $ 与 $ \mathcal{B}(t) $ 对所有 $ t < \infty $ 有限，确保了全局控制。
• 密度在 $ \widetilde{L}^\infty_t(\dot{B}^0_{3,1}) $ 中保持有界，且速度通过Gronwall型估计在 $ \widetilde{\mathcal{E}}_t(\dot{B}^0_{3,1}) $ 中得到控制。
• 证明依赖于对强迫项（密度）的精细 $ L^p_t(L^q_x) $-型估计，其中 $ \beta > 4 $，替代了[1]中的 $ H^\beta $ 假设，后者在此情境下不成立。
• 通过在 $ \dot{B}^{-1}_{3,1} \times \dot{B}^{-1}_{3,1} $ 中估计两个解的差，独立于双线性结构，建立了临界空间框架下的唯一性。
• 该方法成功地将[14, 24]的结果扩展至临界正则性范围，无需额外的大小条件或对称性，仅依赖轴对称性与无涡旋条件。