[论文解读] On the good filtration dimension of Weyl modules for a linear algebraic group

Alison E. Parker|ArXiv.org|Jul 27, 2005

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文计算了在正特征的线性代数群上，Weyl模与诱导模的Weyl滤子维数，证明了当权重为正则时，Ext群 $\operatorname{Ext}^i(\nabla(\lambda),\Delta(\mu))\cong k$ 当且仅当 $i = \operatorname{wfd}(\nabla(\lambda)) + \operatorname{wfd}(\nabla(\mu))$。由此导出广义Schur代数中投射与内射维数的精确公式，以及当 $p>n$ 或 $S(mp,p)$ 时 $S(n,r)$ 的整体维数，整体维数为Weyl滤子维数的两倍。

ABSTRACT

Let G be a linear algebraic group over an algebraically closed field of characteristic p whose corresponding root system is irreducible. In this paper we calculate the Weyl filtration dimension of the induced G-modules, abla(λ) and the simple G-modules L(λ), for λa regular weight. We use this to calculate some Ext groups of the form Ext^*( abla(λ),Δ(μ)), Ext^*(L(λ),L(μ)), and Ext^*( abla(λ), abla(μ)), where λ, μare regular and Δ(μ) is the Weyl module of highest weight μ. We then deduce the projective dimensions and injective dimensions for L(λ), abla(λ) and Δ(λ) for λa regular weight in associated generalised Schur algebras. We also deduce the global dimension of the Schur algebras for GL_n, S(n,r), when p>n and for S(mp,p) with m an integer.

研究动机与目标

• 计算在代数闭域特征为 $p$ 的线性代数群 $G$ 上，正则权重 $\lambda$ 的诱导模 $\nabla(\lambda)$ 和简单模 $L(\lambda)$ 的Weyl滤子维数（wfd）。
• 确定正则权重 $\lambda, \mu$ 下的Ext群 $\operatorname{Ext}^*(\nabla(\lambda),\Delta(\mu))$、$\operatorname{Ext}^*(L(\lambda),L(\mu))$ 和 $\operatorname{Ext}^*(\nabla(\lambda),\nabla(\mu))$。
• 从广义Schur代数中推导出正则权重下 $L(\lambda)$、$\nabla(\lambda)$ 和 $\Delta(\lambda)$ 的投射与内射维数。
• 计算当 $p>n$ 或 $S(mp,p)$ 时，Schur代数 $S(n,r)$ 的整体维数，并将结果推广至量子情形。

提出的方法

• 使用Jantzen引入的平移函子分析正则权重下诱导模 $\nabla(\lambda)$ 和Weyl模 $\Delta(\mu)$ 的结构。
• 证明当正则 $\lambda, \mu$ 时，$\operatorname{Ext}^i(\nabla(\lambda),\Delta(\mu))\cong k$ 当且仅当 $i = \operatorname{wfd}(\nabla(\lambda)) + \operatorname{wfd}(\nabla(\mu))$。
• 利用Weyl模与诱导模之间的对偶性以及平移函子的性质，计算滤子维数。
• 将Weyl滤子维数的结果应用于广义Schur代数，确定简单模、诱导模与Weyl模的投射与内射维数。
• 通过将 $p$ 替换为单位根的阶 $l$，并使用量子平移函子与 $l$-仿射胞腔，将结果推广至量子情形。
• 利用主导权上的 $\uparrow$-序及拟Heredity代数的结构，计算 $q$-Schur代数的整体维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正特征域上的线性代数群中，正则权重 $\lambda$ 的诱导模 $\nabla(\lambda)$ 的Weyl滤子维数是多少？
• RQ2 对于正则权重 $\lambda, \mu$，Ext群 $\operatorname{Ext}^*(\nabla(\lambda),\Delta(\mu))$ 的行为如何？
• RQ3 在广义Schur代数中，正则 $\lambda$ 下 $L(\lambda)$、$\nabla(\lambda)$ 和 $\Delta(\lambda)$ 的投射与内射维数是多少？
• RQ4 当 $p>n$ 或 $S(mp,p)$（$m\in\mathbb{N}$）时，Schur代数 $S(n,r)$ 的整体维数是多少？
• RQ5 Weyl滤子维数与整体维数的结果能否推广至量子群情形与 $q$-Schur代数？

主要发现

• 当 $p>n$ 时，$\mathrm{GL}_n$ 的诱导模 $\nabla(\lambda)$ 的Weyl滤子维数为 $\operatorname{wfd}(\nabla(\lambda)) = (n-1)\left\lfloor\frac{r}{p}\right\rfloor$。
• 对于正则权重 $\lambda, \mu$，有 $\operatorname{Ext}^i(\nabla(\lambda),\Delta(\mu))\cong k$ 当且仅当 $i = \operatorname{wfd}(\nabla(\lambda)) + \operatorname{wfd}(\nabla(\mu))$。
• 广义Schur代数中 $L(\lambda)$ 的投射维数为 $2\cdot\operatorname{wfd}(L(\lambda))$，内射维数同理。
• 当 $p>n$ 时，$S(n,r)$ 的整体维数为 $2(n-1)\left\lfloor\frac{r}{p}\right\rfloor$；当 $l=p$ 时，$S(mp,p)$ 的整体维数为 $2(m)(l-1)$。
• 当 $q$ 是本原 $l$ 次单位根且 $l>n$ 时，$q$-Schur代数 $S_q(n,r)$ 的整体维数为 $2(n-1)\left\lfloor\frac{r}{l}\right\rfloor$；当 $S_q(l,ml)$ 时，整体维数为 $2(l-1)m$。
• 结果可推广至量子情形：$S_q(n,r)$ 的Weyl滤子维数与整体维数仅依赖于 $l$，而不依赖于域的特征。