[论文解读] On the Goodness-of-Fit Testing for Ergodic Diffusion Processes

Yury A. Kutoyants|ArXiv.org|Mar 26, 2009

Diffusion Coefficients in Liquids参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文提出了一类渐近分布自由（ADF）的Cramér-von Mises型拟合优度检验，用于在已知扩散系数下对扩散过程的漂移系数进行简单假设检验。通过使用经验分布函数和不变密度的局部时估计器，作者推导出一种变换，使检验统计量渐近分布自由，从而确保在不同模型下均可使用有效的临界值，并证明了该检验对所有固定备择假设的一致性。

ABSTRACT

We consider the goodness of fit testing problem for ergodic diffusion processes. The basic hypothesis is supposed to be simple. The diffusion coefficient is known and the alternatives are described by the different trend coefficients. We study the asymptotic distribution of the Cramer-von Mises type tests based on the empirical distribution function and local time estimator of the invariant density. At particularly, we propose a transformation which makes these tests asymptotically distribution free. We discuss the modifications of this test in the case of composite basic hypothesis.

研究动机与目标

• 开发在漂移系数为简单假设下的遍历扩散过程的拟合优度检验。
• 确保在原假设下检验统计量渐近分布自由（ADF），从而实现通用临界值。
• 证明检验对所有固定备择假设的一致性，无论备择趋势函数的具体形式如何。
• 通过在检验构造中引入参数估计，将框架扩展至复合假设。

提出的方法

• 基于经验分布函数和不变密度的局部时估计器，构造一种Cramér-von Mises型检验统计量。
• 利用弱收敛理论推导原假设下检验统计量的渐近分布。
• 对检验统计量应用一种变换，消除其对底层模型的依赖，从而实现渐近分布自由。
• 使用基于局部时的不变密度估计器，在原假设下一致地估计真实不变密度。
• 证明检验统计量在原假设下渐近服从正态分布，并收敛到布朗桥的泛函形式。
• 通过证明在备择假设下检验统计量发散至无穷大，分析检验在备择假设下的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在原假设下使遍历扩散过程的Cramér-von Mises型检验渐近分布自由（ADF）？
• RQ2 如何从连续时间样本路径中一致地估计不变密度，以支持拟合优度检验？
• RQ3 何种变换可确保检验统计量的极限分布不依赖于模型参数或真实漂移函数？
• RQ4 所提出的检验是否对所有固定备择假设（包括与原假设仅有微小偏差的情形）均具有一致性？
• RQ5 当备择假设由Kullback-Leibler距离定义时，检验表现如何？为何在此类情形下可能无法保持一致的统一一致性？

主要发现

• 经过适当的变换后，所提出的检验统计量收敛到布朗桥泛函的分布，使其渐近分布自由。
• 该检验对所有固定备择假设均具有一致性，因为在任意备择趋势函数下，检验统计量均发散至无穷大。
• 检验统计量的渐近分布不依赖于底层模型参数，从而可在不同扩散模型间通用临界值。
• 基于局部时的不变密度估计器具有一致性，使得可从连续时间观测中构造检验统计量。
• 当备择假设通过Kullback-Leibler距离定义（如振荡扰动）时，检验会失去统一一致性，原因在于真实密度与原假设密度之间的L2距离趋于零。
• 对于此类备择假设，本文建议采用卡方检验作为更合适的替代方法，其可能具有极小极大最优性。