[论文解读] On the Goulden-Jackson-Vakil conjecture for double Hurwitz numbers

Norman Do, Danilo Lewański|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文通过建立三种不同的 ELSV 型公式，证明了关于单部分双 Hurwitz 数的 Goulden-Jackson-Vakil 猜想：一种涉及映射到分类空间的稳定映射模空间上的 Hodge 类，另一种使用自旋曲线上 Chiodo 类，第三种使用稳定曲线模空间上的典范类。关键贡献在于一个精确的交点理论公式，通过模空间交点数实现了单部分双 Hurwitz 数的多项式结构，低 genus 情况下已明确验证，并推广至自旋 Hurwitz 数。

ABSTRACT

Goulden, Jackson and Vakil observed a polynomial structure underlying one-part double Hurwitz numbers, which enumerate branched covers of $\mathbb{CP}^1$ with prescribed ramification profile over $\infty$, a unique preimage over 0, and simple branching elsewhere. This led them to conjecture the existence of moduli spaces and tautological classes whose intersection theory produces an analogue of the celebrated ELSV formula for single Hurwitz numbers. In this paper, we present three formulas that express one-part double Hurwitz numbers as intersection numbers on certain moduli spaces. The first involves Hodge classes on moduli spaces of stable maps to classifying spaces; the second involves Chiodo classes on moduli spaces of spin curves; and the third involves tautological classes on moduli spaces of stable curves. We proceed to discuss the merits of these formulas against a list of desired properties enunciated by Goulden, Jackson and Vakil. Our formulas lead to non-trivial relations between tautological intersection numbers on moduli spaces of stable curves and hints at further structure underlying Chiodo classes. The paper concludes with generalisations of our results to the context of spin Hurwitz numbers.

研究动机与目标

• 通过构建显式的 ELSV 型公式，解决 Goulden、Jackson 和 Vakil 关于单部分双 Hurwitz 数多项式结构的猜想。
• 识别出其交点数可重现单部分双 Hurwitz 数的模空间及典范类。
• 建立 Hurwitz 数计数与稳定曲线、映射及自旋曲线模空间上交点理论之间的对应关系。
• 将结果推广至自旋 Hurwitz 数的背景，并推导 Chiodo 积分的新公式。

提出的方法

• 推导三种不同的 ELSV 型公式：一种使用映射到 $B\mathbb{Z}_r$ 的稳定映射模空间上的 Hodge 类，一种使用自旋曲线模空间上的 Chiodo 类，一种使用 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上的典范类。
• 利用剪切-联合方程独立验证 genus 到五的低 genus Hurwitz 数多项式。
• 应用半无限楔形式推导自旋 Hurwitz 数的生成函数，并将其与 Chiodo 积分关联。
• 利用 Sage 包 admcycles 对主要定理（特别是定理 5.1）的案例进行数值验证。
• 通过引入任意参数的 $\epsilon_*$-提升 Chiodo 类，将结果推广至自旋 Hurwitz 数。
• 使用函数 $\mathcal{S}(x) = \sinh(x/2)/(x/2)$ 表达生成函数，并通过系数提取显式计算 Chiodo 积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 单部分双 Hurwitz 数能否如 Goulden、Jackson 和 Vakil 所猜想的那样，表示为稳定曲线、映射或自旋曲线上模空间的交点数？
• RQ2 所提出的公式是否满足 ELSV 型公式的必要主性质与次级性质，如多项式性与对称性？
• RQ3 是否存在单部分 Hurwitz 数中观察到的多项式性的自旋类比？若存在，能否通过 Chiodo 积分捕捉？
• RQ4 Chiodo 类在 Hurwitz 数公式中的出现是否能进一步揭示其结构？
• RQ5 这些公式能否推广至轨道或自旋 Hurwitz 数的背景？会涌现出哪些新恒等式？

主要发现

• 本文为单部分双 Hurwitz 数建立了三种不同的 ELSV 型公式：一种涉及 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}(B\mathbb{Z}_r, d)$ 上的 Hodge 类，一种使用自旋曲线上 Chiodo 类，一种使用 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上的典范类。
• 使用 Chiodo 类的公式为 $\int_{\overline{\mathcal{M}}_{g,n}} \frac{\epsilon_*\mathrm{Chiodo}(pr,p;-q,\ldots,-q)}{\prod_{i=1}^{d/q}(1 - \frac{q}{pr}\psi_i)} = \left(\frac{q^{\lfloor q/pr\rfloor}}{\lfloor q/pr\rfloor!}\right)^{d/q} \cdot d^{3g-4+n} \cdot \text{系数提取}$。
• 对于自旋 Hurwitz 数，生成函数为 $[z_1^r \cdots z_b^r] \, d^{b-1} \prod_{j=1}^b \mathcal{S}(d z_j) \prod_{i=1}^n \mathcal{S}(\mu_i z_{[b]}) \frac{z_{[b]}^{n-1}}{\mathcal{S}(z_{[b]})}$，其中 $b = (2g-1+n)/r$ 且 $\mathcal{S}(x) = \sinh(x/2)/(x/2)$。
• Chiodo 积分的公式推广了先前结果：$\int_{\overline{\mathcal{M}}_{g,n}} \frac{\epsilon_*\mathrm{Chiodo}^{[dr]}_{g,n}(dr,d; -\mu_1,\ldots,-\mu_n)}{\prod_{i=1}^n (1 - \mu_i \psi_i)} = \frac{d^{3g-4+n}}{r^{A(r)}} \times \text{系数提取}$，其中 $A(r) = 1 - g + b$。
• 低 genus 多项式通过剪切-联合方程验证，确认 $h_{0;\mu}^{\text{one-part}} = d^{n-2}$，$h_{1;\mu}^{\text{one-part}} = \frac{d^n}{24}(\sum \mu_i^2 - 1)$，以及 genus 到五的更高 genus 表达式。
• 结果揭示了 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上典范交点数之间的非平凡关系，并提示 Chiodo 类在自旋情形下存在更深层次的结构。