[论文解读] On the Gröbner complexity of matrices

Raymond Hemmecke, Kristen A. Nairn|ArXiv.org|Aug 31, 2007

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文证明了当矩阵 $ A $ 的通用 Gröbner 基 $ \mathcal{U}(A) $ 与 Graver 基 $ \mathcal{G}(A) $ 重合时，其 Gröbner 复杂度 $ u(A) $ 与 Graver 复杂度 $ g(A) $ 相等。本文进一步证明了对于矩阵 $ A_{a,b} = \begin{pmatrix}1&1&1&1\\ 0&a&b&a+b\end{pmatrix} $，有 $ u(A_{a,b}) = g(A_{a,b}) = 2(a+b)/\gcd(a,b) $，解决了开放问题，并确认了 $ u(A_{3\times3}) = g(A_{3\times3}) = 9 $，$ u(A_{3\times4}) \geq 27 $，以及 $ u(A_{\text{twisted cubic}}) = 6 $。

ABSTRACT

In this paper we show that if for an integer matrix A the universal Gröbner basis of the associated toric ideal \Ideal_A coincides with the Graver basis of A, then the Gröbner complexity u(A) and the Graver complexity g(A) of its higher Lawrence liftings agree, too. We conclude that for the matrices A_{3 imes 3} and A_{3 imes 4}, defining the 3 imes 3 and 3 imes 4 transportation problems, we have u(A_{3 imes 3})=g(A_{3 imes 3})=9 and u(A_{3 imes 4})=g(A_{3 imes 4})\geq 27. Moreover, we prove u(A_{a,b})=g(A_{a,b})=2(a+b)/\gcd(a,b) for positive integers a,b and A_{a,b}=(\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 0 & a & b & a+b \end{smallmatrix}).

研究动机与目标

• 建立矩阵 $ A $ 的 Gröbner 复杂度 $ u(A) $ 与 Graver 复杂度 $ g(A) $ 相等的条件。
• 解决计算 $ u(A_{3\times4}) $ 的开放问题，证明 $ u(A_{3\times4}) \geq 27 $，并推测等式成立。
• 为一类 $ 2\times4 $ 矩阵建立闭式公式 $ u(A_{a,b}) = g(A_{a,b}) = 2(a+b)/\gcd(a,b) $。
• 确认 $ u(A_{3\times3}) = g(A_{3\times3}) = 9 $，解决了文献中长期存在的空白。
• 验证矩阵 $ A_n = \begin{pmatrix}1&\cdots&1&0\\1&\cdots&n&1\end{pmatrix} $ 的 Graver 基的 $ 2c $-猜想，证明最大 $ \ell^1 $-范数为 $ 2(n-1) $。

提出的方法

• 通过通用 Gröbner 基与最小整数关系的结构引理，证明若 $ \mathcal{U}(A) = \mathcal{G}(A) $，则 $ u(A) = g(A) $。
• 利用 $ \mathcal{U}(A) $ 的对称性及基向量间最小非负整数关系的存在性，构造 $ \mathcal{U}(A^{(s)}) $ 中类型为 $ s $ 的元素。
• 通过线性代数将 $ A_{a,b} $ 的 Graver 基计算转化为等价矩阵 $ B_{a+b} $，同时保持整数核不变。
• 将 $ 1,2,\dots,n $ 之间的整数关系转化为 $ A_n $ 的核中向量，并应用分拆恒等式的结果来界定 $ \ell^1 $-范数。
• 应用文献 [4] 中的推论 1 关于本原分拆恒等式，推导出 $ \|x\|_1 \leq 2(n-1) $，且等式对特定最小向量成立。
• 通过构造一个达到 $ \|x\|_1 = 2(n-1) $ 的最小向量，验证该界是紧致的，从而确认 Graver 基中最大 $ \ell^1 $-范数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，通用 Gröbner 基 $ \mathcal{U}(A) $ 与 Graver 基 $ \mathcal{G}(A) $ 重合，且这对 $ u(A) $ 与 $ g(A) $ 有何影响？
• RQ2 Gröbner 复杂度 $ u(A_{3\times4}) $ 是多少，是否等于 Graver 复杂度 $ g(A_{3\times4}) $？
• RQ3 对于矩阵 $ \begin{pmatrix}1&\cdots&1&0\\0&1&2&\cdots&c&1\end{pmatrix} $，$ 2c $-猜想是否成立，即其 Graver 基中最大 $ \ell^1 $-范数是否恰好为 $ 2c $？
• RQ4 公式 $ u(A_{a,b}) = g(A_{a,b}) = 2(a+b)/\gcd(a,b) $ 是否对所有正整数 $ a,b $ 成立？
• RQ5 尽管字典序 Gröbner 基的复杂度被限制在 5，$ 3\times3 $ 运输矩阵的 Gröbner 复杂度是否可能严格大于 5？

主要发现

• 本文证明了当 $ \mathcal{U}(A) = \mathcal{G}(A) $ 时，有 $ u(A) = g(A) $，确立了两种复杂度相等的一般条件。
• 对于 $ 3\times3 $ 运输矩阵 $ A_{3\times3} $，证明了 $ u(A_{3\times3}) = g(A_{3\times3}) = 9 $，解决了此前未解决的情况。
• 对于 $ 3\times4 $ 运输矩阵 $ A_{3\times4} $，本文证明 $ u(A_{3\times4}) = g(A_{3\times4}) \geq 27 $，并推测等式成立。
• 公式 $ u(A_{a,b}) = g(A_{a,b}) = 2(a+b)/\gcd(a,b) $ 对所有正整数 $ a,b $ 成立，其中 $ A_{a,b} = \begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&a&b&a+b\end{pmatrix} $。
• 确认了 $ 2c $-猜想：矩阵 $ \begin{pmatrix}1&\cdots&1&0\\1&\cdots&c+1&1\end{pmatrix} $ 的 Graver 基中最大 $ \ell^1 $-范数恰好为 $ 2c $。
• 本文构造了 $ \mathcal{U}(A_{3\times3}^{(9)}) $ 中类型为 6、7、8 和 9 的显式元素，表明某些通用 Gröbner 基包含比字典序基更复杂的向量。