[论文解读] On the graph isomorphism problem

Shmuel Friedland|ArXiv.org|Jan 2, 2008

Graph theory and applications参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文将图同构问题（GIP）与子图同构问题（SGIP）表述为决策问题，基于在双随机矩阵的凸多面体上的线性方程与不等式组的可解性。研究表明，若多面体 $Ψ_{n,n}$ 的定义不等式数量为多项式，GIP 与 SGIP 可在多项式时间内判定；但本文承认该数量可能为指数级，因此 GIP 的复杂度仍未解决。

ABSTRACT

We relate the graph isomorphism problem to the solvability of certain systems of linear equations with nonnegative variables. This version replaces the two previous versions of this paper.

研究动机与目标

• 将图同构问题（GIP）与线性方程与不等式组的可解性联系起来。
• 通过凸多面体 $Ψ_{n,n}$ 的最小支撑超平面数量，刻画 GIP 与子图同构（SGIP）的复杂度。
• 研究 $Ψ_{n,n}$ 中解的存在性是否能为 GIP 与 SGIP 提供多项式时间判定器。
• 阐明邻接矩阵的置换相似性/等价性与克罗内克积的置换矩阵上线性系统的关联。
• 更正早期主张，证明 $Ψ_{n,n} \subsetneqq \Phi_{n,n}$，从而确立同构的必要但非充分条件。

提出的方法

• 通过邻接矩阵 $A$ 与 $B$ 表示图，并将同构重述为 $P(A+2I_n)Q^T = B+2I_n$，其中 $P, Q \in \mathcal{P}_n$ 为置换矩阵。
• 使用克罗内克积 $P \otimes Q$ 将问题映射到更高维空间，形成凸包 $\Psi_{n,n} = \text{conv}(\mathcal{P}_n \otimes \mathcal{P}_n)$。
• 将同构条件表示为 $n^2$ 个线性方程组 $Z\widehat{(A+2I_n)} = \widehat{(B+2I_n)}$，其中 $Z \in \Psi_{n,n}$，$\widehat{M}$ 为矩阵 $M$ 的向量化形式。
• 对于子图同构问题，推广为不等式组 $Z\widehat{(C+2^{n^2}I_n)} \leq \widehat{(B+2^{n^2}I_n)}$，其中 $Z \in \Psi_{n,n}$，$C$ 为添加孤立顶点后的较小图的邻接矩阵。
• 通过 $(4n-1)n^2$ 个线性方程与 $n^4$ 个非负变量定义更大的多面体 $\Phi_{n,n}$，其包含 $\Psi_{n,n}$，并使用椭球法评估可行性。
• 使用椭球算法在 $\max(f(n), n)$ 的多项式时间内判断线性系统可行性，其中 $f(n)$ 为定义 $\Psi_{n,n}$ 的不等式数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 图同构问题能否被归约为在双随机矩阵凸多面体上的线性方程组可解性问题？
• RQ2 多面体 $\Psi_{n,n}$ 的支撑超平面数量与图同构问题复杂度之间有何关系？
• RQ3 若 $Z \in \Psi_{n,n}$ 时 $Z\widehat{(A+2I_n)} = \widehat{(B+2I_n)}$ 可解，这是否为图同构的必要且充分条件？
• RQ4 子图同构问题与 $\Psi_{n,n}$ 上的线性不等式组有何关联？
• RQ5 早期主张 $\Phi_{n,n} = \Psi_{n,n}$ 是否正确？抑或 $\Psi_{n,n}$ 是 $\Phi_{n,n}$ 的真子集？

主要发现

• 若凸多面体 $\Psi_{n,n}$ 由 $f(n)$ 个线性不等式与等式定义，则图同构问题可在 $\max(f(n), n)$ 的多项式时间内判定。
• 在相同 $f(n)$ 假设下，子图同构问题亦可在 $\max(f(n), n)$ 的多项式时间内判定，使用含 $n^2$ 个线性不等式的系统。
• 本文通过 J. Rosenberg 提供的反例，更正了早期主张，证明当 $n \geq 4$ 时 $\Psi_{n,n} \subsetneqq \Phi_{n,n}$。
• 椭球法确保：若 $f(n)$ 为多项式，则 $\Psi_{n,n}$ 上线性系统的可行性可多项式时间判定。
• 若 $f(n)$ 或 $g(m,n)$（即 $\Psi_{n,n}$ 或 $\Psi_{m,n}$ 的约束数量）为多项式，则置换相似性与矩阵等价性可多项式时间判定。
• 当使用 $\Phi_{n,n}$ 而非 $\Psi_{n,n}$ 时，该方法仅提供同构的必要条件，因此除非 $f(n)$ 为多项式，否则无法解决 GIP 的复杂度问题。