[论文解读] On the Graph of the Pedigree Polytope

Abdullah Makkeh, Mozhgan Pourmoradnasseri+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2016

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文研究了谱系多面体（pedigree polytopes）1-骨架（图）的渐近结构，这类多面体是对对称TSP多面体的扩展。通过基于Arthanari的多项式时间邻接性表征所提出的新型“邻接博弈”模型，作者证明了在 $n$ 个城市的情况下，谱系多面体图的最小顶点度数渐近为 $(1-o(1)) olimits \cdot (n-1)!/2$，这意味着当 $n \to \infty$ 时，该图渐近几乎完全，尽管其图并非正则或对称，与TSP多面体不同。

ABSTRACT

Pedigree polytopes are extensions of the classical Symmetric Traveling Salesman Problem polytopes whose graphs (1-skeletons) contain the TSP polytope graphs as spanning subgraphs. While deciding adjacency of vertices in TSP polytopes is coNP-complete, Arthanari has given a combinatorial (polynomially decidable) characterization of adjacency in Pedigree polytopes. Based on this characterization, we study the graphs of Pedigree polytopes asymptotically, for large numbers of cities. Unlike TSP polytope graphs, which are vertex transitive, Pedigree graphs are not even regular. Using an "adjacency game" to handle Arthanari's intricate inductive characterization of adjacency, we prove that the minimum degree is asymptotically equal to the number of vertices, i.e., the graph is "asymptotically almost complete".

研究动机与目标

• 理解谱系多面体1-骨架（图）的渐近结构，该多面体是对其对称TSP多面体的扩展。
• 在邻接性可通过Arthanari的表征实现多项式时间判定的前提下，分析当 $n$ 较大时谱系多面体图的最小顶点度数。
• 解决一个开放问题：尽管谱系多面体图不具备TSP多面体的顶点传递性，其图是否渐近完全。
• 提出并应用一种新颖的概率性“邻接博弈”模型，以分析通过多面体图的归纳构造过程中顶点度数的演化。

提出的方法

• 作者使用一种‘邻接博弈’来建模图的演化，其中Alice和Bob随时间选择顶点，Bob则盲选且均匀随机选择。
• 该博弈通过将每个顶点替换为一组子顶点而演化，其规则源自Arthanari对谱系多面体中邻接性的归纳表征。
• 分析追踪两个关键的随机变量：$T_n$，即第 $n$ 步时图中连通分量的数量，以及 $S_n$，即孤立顶点的数量，以限制低度数顶点的概率。
• 证明使用了集中不等式和马尔可夫不等式，表明以高概率，连通分量数 $T_n$ 最终会降至1并保持不变，从而暗示最小度数较高。
• 作者在不断增大的区间上使用递归论证，通过条件概率界限控制 $T_n$ 减少失败的可能性，最终证明最小度数渐近完全。
• 该方法依赖于对 $S_n > \ln^2 n$ 的概率进行有界控制，因为这将意味着存在低度数顶点，且证明对于大 $n$，该概率可忽略不计。

实验结果

研究问题

• RQ1 谱系多面体图是否渐近几乎完全，即其最小度数是否在 $n \to \infty$ 时趋近于顶点总数？
• RQ2 能否基于Arthanari的邻接性表征，使用一种概率博弈模型来分析非对称多面体中的渐近度分布？
• RQ3 是否存在其他多面体（超越谱系多面体），其图并非完全图，但最小度数渐近等于顶点数？
• RQ4 能否独立于几何扩展，推导出TSP多面体中邻接性的组合条件，从而可能产生更接近实际TSP多面体图的图？

主要发现

• 当 $n \to \infty$ 时，$n$ 个城市谱系多面体图的最小度数渐近为 $(1-o(1)) \cdot (n-1)!/2$。
• 谱系多面体图的密度渐近趋于1，意味着其‘渐近几乎完全’。
• 尽管缺乏顶点传递性，谱系多面体图的最小度数仍渐近等于顶点总数，这与TSP多面体图不同。
• 当 $n$ 足够大时，连通分量数 $T_n$ 超过常数 $t$ 的概率被限制在 $\varepsilon' / 3$ 以内，这意味着 $T_n$ 以高概率最终降至1。
• 当 $n$ 足够大时，孤立顶点数 $S_n$ 超过 $\ln^2 n$ 的概率至多为 $\varepsilon$，这有助于控制低度数顶点出现的可能性。
• 分析表明，以概率 $1 - \varepsilon'$，连通分量数 $T_n$ 会降至1并在此后所有更大的 $n$ 中保持为1，从而确认了图的渐近完全性。