[论文解读] On the gravitational field of a sphere of incompressible fluid according to Einstein's theory

Karl Schwarzschild|ArXiv.org|Dec 16, 1999

Geophysics and Gravity Measurements被引用 51

一句话总结

本文首次在广义相对论中精确求解了爱因斯坦场方程，针对静态、球对称的不可压缩流体球，采用史瓦西坐标系。推导出内部度规、压强分布及引力质量-半径关系，表明引力质量与静止质量之比随中心密度增加而增大，并在 $\cos\chi_a = 1/3$ 处识别出最大致密性极限，超过该极限将因中心压强无穷大及光速奇点而导致稳定流体球不再存在。

ABSTRACT

Communication by K. Schwarzschild to the Prussian Academy of Sciences, dealing with the gravitational field of a sphere of incompressible fluid.

研究动机与目标

• 通过爱因斯坦场方程，推导均匀不可压缩流体球内部的精确相对论引力场。
• 确定与广义相对论中流体静力平衡一致的内部度规与压强分布。
• 建立引力质量、静止质量与致密性之间的关系，并识别流体球稳定性的物理极限。
• 证明该解在弱场极限下退化为牛顿引力，并表现出已知的二阶爱因斯坦修正项。

提出的方法

• 采用球对称坐标系 $x_1 = r^3/3$，$x_2 = -\cos\vartheta$，$x_3 = \phi$，$x_4 = t$，将度规简化为 $ds^2 = f_4 dt^2 - f_1 dr^2 - f_2 d\Omega^2$。
• 使用不可压缩流体的能量-动量张量：$T^\mu_\nu = \text{diag}(-p, -p, -p, \rho_0)$，其中 $p$ 为压强，$\rho_0$ 为常数密度。
• 应用爱因斯坦场方程 $G_{\mu\nu} = -\kappa (T_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} T)$，推导出关于 $f_1, f_2, f_4, p$ 及行列式条件 $f_1 f_2^2 f_4 = 1$ 的五个耦合微分方程。
• 通过求解平衡条件 $\partial p / \partial x = -\frac{\rho_0 + p}{2 f_4} \partial f_4 / \partial x$，得到 $ (\rho_0 + p) \sqrt{f_4} = \gamma $，作为关键积分。
• 引入角度 $\chi$，令 $r = \sqrt{3/\kappa \rho_0} \sin\chi$，将方程转化为三角函数形式，以实现解析求解。
• 在表面处（$p=0$）将内部解与外部史瓦西解匹配，确保 $f_i$ 及其导数的连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 均匀不可压缩流体球内部的精确相对论度规是什么？
• RQ2 在广义相对论流体静力平衡下，压强分布如何从中心到表面演化？
• RQ3 此类流体球在出现不稳定或奇点前可达到的最大致密性（质量-半径比）是多少？
• RQ4 引力质量与静止质量相比如何？该比值如何依赖于密度与致密性？
• RQ5 中心处光速与压强的行为如何？该解在所有密度下是否仍保持物理有效性？

主要发现

• 内部度规完全由角度 $\chi$ 决定，其中 $f_4 = \cos^2\chi / \cos^2\chi_a$，$f_1 = \cos^2\chi / \cos^2\chi_a$，$f_2 = \sin^2\chi / \cos^2\chi_a$，定义域为 $0 \leq \chi \leq \chi_a$。
• 引力质量为 $\alpha / 2k^2$，其中 $\alpha = \kappa \rho_0 P_o^3 / 3$，$P_o = \sqrt{3/\kappa \rho_0} \sin\chi_a$ 为从外部测量的半径。
• 引力质量与静止质量之比为 $\frac{\alpha}{2k^2 M} = \frac{2}{3} \frac{\sin^3\chi_a}{\chi_a - \frac{1}{2} \sin 2\chi_a}$，随 $\chi_a$（即中心密度）增大而增加。
• 当 $\cos\chi_a = 1/3$ 时，中心压强与有效光速发散，对应最大致密性为 $P_o = 9/8 \alpha$，超过该值将不存在稳定流体解。
• 球体内部光速从表面处的 $1/\cos\chi_a$ 增加到中心处的 $2/(3\cos\chi_a - 1)$，在 $\cos\chi_a = 1/3$ 处趋于无穷大。
• 当 $\cos\chi_a < 1/3$ 时，解在到达中心前即出现奇点，表明流体球稳定性的物理极限存在。