[论文解读] On the Grid Ramsey Problem and Related Questions

David Conlon, Jacob Fox+2 more|arXiv (Cornell University)|May 26, 2014

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文通过证明网格拉姆齐问题的界——即在任意 r 种颜色的边着色下保证存在单色矩形所需的最小网格尺寸——关于 r 是超多项式增长的，从而解决了拉姆齐理论中一个长期悬而未决的问题，表明经典的 Shelah 立方引理界无法被改进为多项式形式。该结果意味着，通过此方法无法将 Hales–Jewett 定理的原始递归界简化为塔型界。

ABSTRACT

The Hales--Jewett theorem is one of the pillars of Ramsey theory, from which many other results follow. A celebrated theorem of Shelah says that Hales--Jewett numbers are primitive recursive. A key tool used in his proof, now known as the cube lemma, has become famous in its own right. In its simplest form, this lemma says that if we color the edges of the Cartesian product $K_n imes K_n$ in $r$ colors then, for $n$ sufficiently large, there is a rectangle with both pairs of opposite edges receiving the same color. Shelah's proof shows that $n = r^{\binom{r+1}{2}} + 1$ suffices. More than twenty years ago, Graham, Rothschild and Spencer asked whether this bound can be improved to a polynomial in $r$. We show that this is not possible by providing a superpolynomial lower bound in $r$. We also discuss a number of related problems.

研究动机与目标

• 解决 Graham、Rothschild 和 Spencer 关于是否可将 Shelah 立方引理界从原始递归形式改进为关于 r 的多项式形式的猜想。
• 建立网格拉姆齐函数 G(r) 的紧致界，该函数衡量的是最小的 n，使得任意 Kn × Kn 的 r 种颜色边着色中均包含一个单色矩形。
• 研究极值组合学中边着色构造的结构性限制，特别是关于色数和交错矩形的问题。
• 探索网格拉姆齐问题与更广泛的拉姆齐型问题之间的联系，包括 Erdfis–Gyárfás 问题和色数拉姆齐函数。

提出的方法

• 基于完全二部图的随机边着色构造，推导出 G(r) 的下界。
• 应用 Erdős 和 Hajnal 的逐步提升技术，将小规模情况的结果推广至更大规模。
• 分析边着色中颜色类并集的色数，以限制拉姆齐型函数的增长。
• 引入并研究函数 Fχ(r, p, q)，即任意 r 种颜色着色 Kn 中存在使用少于 q 种颜色的 p 色子图的最小 n。
• 利用着色 cM 这一特定构造，控制颜色类并集中色数的增长。
• 采用双重归纳法与极值图论，分析无交错矩形着色及其局限性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Shelah 立方引理界 G(r) ≤ r(r+1)/2 + 1 是否可被改进为关于 r 的多项式？
• RQ2 如 Erdős–Gyárfás 问题所暗示，F(r, p, p−1) 对所有 p ≥3 是否为超多项式？
• RQ3 Fχ(r, p, q)，即色数拉姆齐函数，的增长率如何？其是否在 q = ⌈log p⌉ 处从指数型过渡为亚指数型？
• RQ4 F3(r, p, p−2) 是否大于 2rc 对于任意固定 c，特别是当 p ≥4 时？
• RQ5 在边着色中，s 个颜色类并集的色数是否可任意缓慢增长？

主要发现

• 本文建立了 G(r) 的超多项式下界，证明 G(r) 的增长速度超过任何关于 r 的多项式，从而以否定方式回答了 Graham-Rothschild-Spencer 的问题。
• 证明了 G(r) ≥ 2Ω(log² r)，表明 Shelah 界无法被改进为多项式形式。
• 色数拉姆齐函数 Fχ(r, 4, 3) 满足 2Ω(log² r) ≤ Fχ(r, 4, 3) ≤ 2O(√r log r)，表明其具有亚指数但超多项式增长速率。
• 当 p = 5 时，Fχ(r, 5, 4) = 2Ω(log² r)，证实色数拉姆齐函数可以是超多项式增长。
• 本文证明，若 Fχ(r, 2d, d+1) = 2o(r)，则意味着 Fχ(r, p, q) 在指数到亚指数过渡中存在一个尖锐阈值，并猜想该结论对所有 d ≥2 成立。
• 本文表明，在着色 cM 中，s 个颜色类并集的色数增长缓慢，暗示未来研究中可能获得更优的界。