[论文解读] On the Gromov hyperbolicity of convex domains in Cn

Hervé Gaussier, Harish Seshadri|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2013

Holomorphic and Operator Theory参考文献 14被引用 6

一句话总结

该论文证明，在 ℂⁿ 中具有有界光滑严格凸的域，若其边界包含非平凡的全纯圆盘，则其在 Kobayashi 度量下不是 Gromov 双曲的。反之，它证明了某些弱强伪凸但非强伪凸的域——特别是当 p ≥ 1 时的复椭球体 Dₚ——是 Gromov 双曲的，从而提供了精确的几何障碍，并构造了一类新的例子。

ABSTRACT

We give a necessary complex geometric condition for a bounded smooth convex domain in Cn, endowed with the Kobayashi distance, to be Gromov hyperbolic. More precisely, we prove that if a smooth bounded convex domain contains an analytic disk in its boundary, then the domain is not Gromov hyperbolic for the Kobayashi distance. We also provide examples of bounded smooth convex domains that are not strongly pseudoconvex but are Gromov hyperbolic.

研究动机与目标

• 确定 ℂⁿ 中有界光滑严格凸域在 Kobayashi 度量下 Gromov 双曲性的必要与充分条件。
• 解决关于光滑弱强伪凸域（非强伪凸）是否可以是 Gromov 双曲的开放问题。
• 基于边界中全纯圆盘的存在，提供 Gromov 双曲性的精确几何障碍。
• 构造出非强伪凸但 Gromov 双曲的凸域的显式例子，扩展了已知的强伪凸域类。

提出的方法

• 证明若 ℂⁿ 中 C∞ 光滑有界凸域的边界中包含非平凡全纯圆盘，则其在 Kobayashi 度量下不是 Gromov 双曲的。
• 利用 Kobayashi 度量在边界全纯圆盘附近的性质，说明测地三角形不满足 δ-双曲性条件。
• 利用 Lempert 定理与 Yau-Schwarz 引理，建立凸域上 Kobayashi 度量与 Kähler-Einstein 度量之间的双李普希茨等价关系。
• 应用 Toponogov 比较定理，证明复椭球体 Dₚ（p ≥ 1）上的 Kähler-Einstein 度量具有有界负截面曲率，从而蕴含 Gromov 双曲性。
• 利用 Gromov 双曲性在距离函数的双李普希茨等价下保持不变的性质，将双曲性从 Kähler-Einstein 度量传递到 Kobayashi 度量。
• 利用 Bergman 度量的均匀负全纯截面曲率，支持 Kobayashi 度量与 Kähler-Einstein 度量之间的双李普希茨等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 若 ℂⁿ 中有界光滑凸域的边界中存在全纯圆盘，是否阻碍其在 Kobayashi 度量下的 Gromov 双曲性？
• RQ2 ℂⁿ 中光滑、弱强伪凸、非强伪凸的域在 Kobayashi 度量下是否可以是 Gromov 双曲的？
• RQ3 对于 ℂⁿ 中有界凸域，其在 Kobayashi 度量下 Gromov 双曲性的精确复几何条件是什么？
• RQ4 复椭球体 Dₚ = {(z′, zn) ∈ ℂⁿ : |z′|² + |zn|²ᵖ < 1}（p ≥ 1）在 Kobayashi 度量下是否是 Gromov 双曲的？
• RQ5 在凸域上，Kobayashi 度量与 Kähler-Einstein 度量之间在双李普希茨等价性方面有何关系？

主要发现

• 若 ℂⁿ 中 C∞ 光滑有界凸域的边界中包含非平凡全纯圆盘，则该域上的 Kobayashi 度量不是 Gromov 双曲的。
• 当 p ≥ 1 时，复椭球体 Dₚ = {(z′, zn) ∈ ℂⁿ : |z′|² + |zn|²ᵖ < 1} 在 Kobayashi 度量下是 Gromov 双曲的。
• Dₚ 上的 Kobayashi 度量与具有截面曲率介于两个负常数之间的 Kähler-Einstein 度量是双李普希茨等价的。
• Dₚ 上的 Kähler-Einstein 度量具有均匀负截面曲率，且由于 Dₚ 是单连通的，因此在该度量下是 Gromov 双曲的。
• 由于 Gromov 双曲性在双李普希茨等价下保持不变，因此 Dₚ 在 Kobayashi 度量下也是 Gromov 双曲的。
• 该结果表明，Gromov 双曲性可以存在于非强伪凸域中，从而提供了超越强伪凸情形的新一类例子。