[论文解读] On the Gromov hyperbolicity of strongly pseudoconvex domains in almost complex manifolds

Florian Bertrand, Hervé Gaussier|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2012

Geometry and complex manifolds被引用 2

一句话总结

该论文证明，在几乎复流形 $ (M,J) $ 中，若一个光滑且相对紧致的区域 $ D = \{ \rho < 0 \} $ 的定义函数 $ \rho $ 在 $ \overline{D} $ 的邻域内是严格 $ J $-强拟凸的，则其边界连通，且该区域为 Gromov 双曲空间。该结果通过拟凸函数几何方法，将复几何中的双曲性概念推广至几乎复结构设定。

ABSTRACT

Let $D=\{ ho < 0\}$ be a smooth relatively compact domain in an almost complex manifold $(M,J)$, where $ ho$ is a smooth defining function of $D$, strictly $J$-plurisubharmonic in a neighborhood of the closure $\overline{D}$ of $D$. We prove that $D$ has a connected boundary and is Gromov hyperbolic.

研究动机与目标

• 研究几乎复流形中强拟凸区域的几何结构。
• 确定此类区域是否表现出 Gromov 双曲性，这是度量几何中的关键性质。
• 将复几何中的结果推广至更广泛的几乎复结构设定。
• 建立此类区域边界连通且度量空间为双曲的条件。

提出的方法

• 使用在 $ \overline{D} $ 的邻域内严格 $ J $-强拟凸的光滑定义函数 $ \rho $。
• 应用几乎复几何中的技术，特别是 $ J $-强拟凸函数的行为特性。
• 利用由 $ J $ 导出的 Levi 形式与曲率性质，分析区域 $ D $ 的内在几何。
• 采用度量空间方法，从 $ \rho $ 的严格强拟凸性推导出 Gromov 双曲性。
• 依赖于严格 $ J $-强拟凸性带来的拓扑与几何后果，推导出连通性与双曲性。

实验结果

研究问题

• RQ1 几乎复流形中的强拟凸区域是否具有连通边界？
• RQ2 在何种条件下此类区域为 Gromov 双曲？
• RQ3 能否从其定义函数的严格 $ J $-强拟凸性推导出区域 $ D $ 的 Gromov 双曲性？
• RQ4 几乎复结构 $ J $ 如何影响区域 $ D $ 的双曲性？

主要发现

• 区域 $ D $ 的边界连通，这由 $ \rho $ 在 $ \overline{D} $ 附近严格 $ J $-强拟凸性所保证。
• 区域 $ D $ 为 Gromov 双曲，即其内在度量满足薄三角形条件。
• 该结果在 $ \rho $ 于 $ \overline{D} $ 的邻域内严格 $ J $-强拟凸的假设下成立，确保了强几何控制。
• 证明依赖于几乎复流形中 $ J $-强拟凸几何与度量双曲性之间的相互作用。