[论文解读] On the ground states of the $M_\ell$ models

Liza Huijse, Christian Hagendorf|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文通过超电荷的上同调理论，确定了一维 $M_\ell$ 晶格费米子模型中精确的零能基态简并度。研究建立了一种新颖的上同调同构，将长度相差 $\ell+2$ 个格点的链的上同调联系起来，揭示了基态简并度依赖于链长和边界条件，关键结果为当 $N \leq 3\ell/2 + 2$ 时，一维上同调维数为一。该分析适用于周期性边界条件和特殊边界条件，扩展了对超对称量子多体系统及其拓扑特性的理解。

ABSTRACT

We study the $M_\ell$ models for lattice fermions with supersymmetry introduced by Fendley, Nienhuis and Schoutens on one-dimensional chains. We determine the number of ground states as a function of the chain length as well as various boundary conditions by solving the corresponding cohomology problem. As an intermediate result we obtain the Cut (and Paste) cohomology isomorphism, which maps the cohomology problem of chains, whose lengths differ by $\ell+2$ sites, onto each other.

研究动机与目标

• 确定在一维链上不同边界条件下，$M_\ell$ 模型中零能基态的确切数量。
• 分析定义 $M_\ell$ 哈密顿量的超电荷的上同调，将其与零能态的结构联系起来。
• 建立一种新的上同调同构，关联长度相差 $\ell+2$ 个格点的链的上同调。
• 扩展对超对称晶格模型的理解，特别是针对 $\ell \geq 2$ 的情况，此前结果仅限于 $\ell=1$。
• 阐明边界条件（尤其是特殊边界条件）在基态简并度和拓扑结构中的作用。

提出的方法

• 本研究利用超电荷 $Q_1$ 和 $Q_2$ 的上同调来识别零能态，因为这些态在超对称模型中对应于物理基态。
• 定义了一种剪切（和粘贴）上同调同构，将 $N$ 格点链的上同调映射到 $(N + \ell + 2)$ 格点链的上同调，从而实现递归分析。
• 分析根据链长分为两种情形：$N > 3\ell/2 + 2$ 和 $N \leq 3\ell/2 + 2$，每种情形具有不同的上同调结构。
• 采用对以 $|\psi_{k,m,i}\rangle$ 标记的态的上同调类进行归纳证明的方法，利用 $Q_2$-不变性及等价类的性质。
• 该方法利用费米子集团的结构和排斥规则（每个连通段最多容纳 $\ell$ 个费米子）来约束希尔伯特空间和上同调基。
• 技术性结果通过带有费米子数分次的分级福克空间推导，分析根据 $N_1 = N - \ell - 2$ 的值划分为不同情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于一般 $\ell$，$M_\ell$ 模型中零能基态的数量如何依赖于链长 $N$ 和边界条件？
• RQ2 这些超对称晶格费米子模型中基态简并度背后的数学结构是什么？
• RQ3 能否建立一种上同调同构，将长度相差 $\ell + 2$ 个格点的链的上同调联系起来？
• RQ4 特殊边界条件（由 $s = (c_1, c_N)$ 定义，且满足 $0 \leq c_1, c_N \leq \ell$）在改变基态简并度中的作用是什么？
• RQ5 当 $N \leq 3\ell/2 + 2$ 时，超电荷复形 $\mathcal{H}_{Q_2}(\mathcal{H}_{Q_1})$ 的上同调行为如何，特别是在不同链长下？

主要发现

• 当 $N > 3\ell/2 + 2$ 时，上同调 $\mathcal{H}_{Q_2}(\mathcal{H}_{Q_1})$ 为平凡，意味着所有上同调类等价于零，因此基态简并度仅由 $Q_1$ 的核决定。
• 当 $N \leq 3\ell/2 + 2$ 时，上同调 $\mathcal{H}_{Q_2}(\mathcal{H}_{Q_1})$ 的维数为一，表明存在唯一非平凡的零能态类。
• 该非平凡类由包含 $N - 3$ 个费米子的态表示，且当 $N \leq 3\ell/2 + 2$ 时，该态属于 $Q_2$ 在 $Q_1$-上同调中的核。
• 剪切（和粘贴）上同调同构将 $N$ 格点链的上同调映射到 $(N + \ell + 2)$ 格点链的上同调，为解提供了递归结构。
• 对于周期性边界条件，基态简并度等于总上同调 $\mathcal{H}_Q$ 的维数，当 $N \leq 3\ell/2 + 2$ 时为一，否则可能更大。
• 分析证实，当 $\ell \geq 2$ 时，$M_\ell$ 模型支持非阿贝尔拓扑激发，与近期猜想一致，并为基态简并度模式提供了上同调解释。