[论文解读] On the growth of torsion in the cohomology of arithmetic groups

Avner Ash, Paul E. Gunnells+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文通过计算方法研究了算术群上上同调中挠子群的增长，涵盖 GLₙ(ℤ)（n=3,4,5）及整数环上 GL₂(𝒪) 的情形。利用在同余子群塔上的 Voronoi 上同调计算，发现其与 Bergeron–Venkatesh 关于亏格为1群中指数级挠子群增长的猜想具有极强的数值一致性，同时观察到新现象，如 Eisenstein 上升与收敛速度减缓。结果支持了猜想所预测的渐近极限，并提出了超越原始框架的两个新猜想。

ABSTRACT

Let G be a semisimple Lie group with associated symmetric space D, and let Gamma subset G be a cocompact arithmetic group. Let L be a lattice inside a Z Gamma-module arising from a rational finite-dimensional complex representation of G. Bergeron and Venkatesh recently gave a precise conjecture about the growth of the order of the torsion subgroup H_i (Gamma_k; L )_tors as Gamma_k ranges over a tower of congruence subgroups of Gamma. In particular they conjectured that the ratio (log |H_i (Gamma_k ; L)_tors|)/[Gamma : Gamma_k] should tend to a nonzero limit if and only if i= (dim(D)-1)/2 and G is a group of deficiency 1. Furthermore, they gave a precise expression for the limit. In this paper, we investigate computationally the cohomology of several (non-cocompact) arithmetic groups, including GL_n (Z) for n=3,4,5 and GL_2 (O) for various rings of integers, and observe its growth as a function of level. In all cases where our dataset is sufficiently large, we observe excellent agreement with the same limit as in the predictions of Bergeron--Venkatesh. Our data also prompts us to make two new conjectures on the growth of torsion not covered by the Bergeron--Venkatesh conjecture.

研究动机与目标

• 研究非余紧算术群（特别是 GLₙ(ℤ) 与 GL₂(𝒪)）在同余子群塔上的上同调中挠子群的增长。
• 利用计算数据检验 Bergeron–Venkatesh 猜想对亏格为1群中挠子群增长的预测。
• 探究非余紧群中挠子群增长模式是否偏离或扩展原始猜想，特别是在更高亏格或不同水平族的情况下。
• 识别并分析原始猜想未涵盖的新现象，如上同调类中的 Eisenstein 上升。

提出的方法

• 使用算术群的算法方法计算 GLₙ(ℤ) 与 GL₂(𝒪) 的同余子群的 Voronoi 上同调。
• 利用 Voronoi 复形在对偶维数上计算上同调，从而高效计算挠子群。
• 分析挠子群增长作为水平的函数，特别是针对递增的素数水平及其他同余子群族。
• 将计算得到的挠子群阶与 Bergeron–Venkatesh 猜想所预测的渐近极限进行比较。
• 识别出具有大素数幂的挠子群类（如 11⁴、17⁴、31⁴），并观察其在不同群之间的对应关系，提示存在 Eisenstein 上升。
• 对 Borel–Serre 边界分量进行拓扑分析，通过涉及幂零流形与 Levi 子群的谱序列，启发式地解释观察到的上升级现象。

实验结果

研究问题

• RQ1 非余紧算术群的上同调中挠子群是否如 Bergeron–Venkatesh 猜想所预测的那样呈指数级增长，特别是在亏格为1的群中？
• RQ2 为何在计算数据中收敛到预测渐近极限的速度明显慢于素数水平族？
• RQ3 如何解释在 GL₃ 与 GL₄ 上同调群之间观察到的奇异挠子群转移现象，例如 11⁴ 出现在 H₃(GL₄) 中，而 11² 出现在 H₂(GL₃) 中？
• RQ4 观察到的类似 Eisenstein 的上升级是否能通过 Borel–Serre 边界上的拓扑机制加以解释？若能，其发生条件是什么？
• RQ5 在亏格大于1的群中，挠子群增长行为如何？其是否遵循次指数或多项式模式？

主要发现

• 在水平 114 时，GL₃(ℤ) 的 H₂(Γₖ; ℒ) 中挠子群为 2⁵·3³·11²，而 GL₄(ℤ) 的 H₃(Γₖ; ℒ) 中为 2¹²·3⁷·11⁴，其平方比关系与 Eisenstein 上升一致。
• 在水平 118 时，GL₄(ℤ) 的挠子群为 2¹⁴·17⁴，而 GL₃(ℤ) 的为 17²，再次显示出平方增长模式，提示存在 Eisenstein 现象。
• 在水平 119 时，GL₄(ℤ) 的挠子群为 2⁴·3³·31⁴，GL₃(ℤ) 的为 2²·3¹·31²，进一步支持 Eisenstein 上升机制。
• 在亏格为1的群（如 GL₃(ℤ) 与 GL₄(ℤ)）中，计算得到的挠子群增长与 Bergeron–Venkatesh 猜想所预测的渐近极限具有极佳的定量一致性。
• 在尖点范围的上同调最高维中观察到的奇异挠子群在亏格为1的群中呈指数级增长，与猜想一致。
• 收敛到预测渐近极限的速度显著慢于素数水平族，提示收敛行为具有水平依赖性。