[论文解读] On the Hölder regularity of signed solutions to a doubly nonlinear equation

Verena Bögelein, Frank Duzaar+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2020

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 27被引用 8

一句话总结

本文通过内在标度和De Giorgi迭代方法，建立了形式为 $\partial_t(|u|^{p-2}u) - \Delta_p u = 0$ 的双重非线性抛物方程的有界符号弱解在内部和边界处的 Hölder 连续性，其中 $p > 1$。关键贡献在于对狄利克雷和诺伊曼问题，在抛物边界处给出了具有显式结构数据与解范数依赖关系的定量 Hölder 正则性估计。

ABSTRACT

We establish the interior and boundary Hölder continuity of possibly sign-changing solutions to a class of doubly nonlinear parabolic equations whose prototype is \[ \partial_t\big(|u|^{p-2}u\big)-Δ_p u=0,\quad p>1. \] The proof relies on the property of expansion of positivity and the method of intrinsic scaling, all of which are realized by De Giorgi's iteration. Our approach, while emphasizing the distinct roles of sub(super)-solutions, is flexible enough to obtain the Hölder regularity of solutions to initial-boundary value problems of Dirichlet type or Neumann type in a cylindrical domain, up to the parabolic boundary. In addition, based on the expansion of positivity, we are able to give an alternative proof of Harnack's inequality for non-negative solutions. Moreover, as a consequence of the interior estimates, we also obtain a Liouville-type result.

研究动机与目标

• 建立具有通用结构条件的双重非线性抛物方程可能变号解的Hölder连续性。
• 将正则性理论扩展至狄利克雷型和诺伊曼型问题的解，直至抛物边界。
• 使用内在标度和De Giorgi迭代法，提供Hölder正则性的定量证明。
• 基于正性扩张，给出Harnack不等式的另一种证明。
• 作为内部估计的推论，推导出Liouville型结果。

提出的方法

• 使用De Giorgi迭代技术控制时空柱体中振幅的衰减。
• 应用内在标度以处理 $p \neq 2$ 时 $p$-拉普拉斯结构的退化与奇异性。
• 利用正性扩张性质，将测度论意义下的正性信息向前推进至时间。
• 引入收缩引理和De Giorgi型引理，以控制上水平集的测度。
• 构造一个缩放函数 $v$，将问题约化至一个通用柱体，从而应用正则性估计。
• 结合能量估计与测度论论证，从振幅衰减推导出Hölder连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $p > 1$ 的双重非线性抛物方程，能否建立符号解的Hölder连续性？
• RQ2 正则性理论如何推广至具有狄利克雷或诺伊曼边界条件的解？
• RQ3 正性扩张是否可用于在不依赖经典方法的前提下推导Harnack不等式？
• RQ4 Hölder指数与常数对结构数据的精确依赖关系是什么？
• RQ5 内部正则性是否意味着整个解的Liouville型定理？

主要发现

• 解 $u$ 在 $E_T$ 内局部Hölder连续，其指数 $\beta \in (0,1)$ 仅依赖于数据 $\{p, N, C_o, C_1\}$。
• 获得显式Hölder估计：$|u(x_1,t_1) - u(x_2,t_2)| \leq \bm{\gamma}\|u\|_{\infty,E_T} \left( \frac{|x_1-x_2| + |t_1-t_2|^{1/p}}{\operatorname{dist}_p(\mathcal{K};\Gamma)} \right)^\beta$。
• 振幅呈几何衰减：$\operatorname{ess\,osc}_{(x_o,t_o)+Q_r} u \leq \bm{\gamma} \operatorname{ess\,osc}_{(x_o,t_o)+Q_\varrho} u \left( \frac{r}{\varrho} \right)^\beta$，适用于嵌套柱体。
• 基于正性扩张与Hölder连续性结果，提供了Harnack不等式的另一种证明。
• 由内部估计可推出Liouville型结果：在适当衰减条件下，有界整体解为常数。
• 该方法对 $1 < p < 2$ 与 $p > 2$ 均适用，对零附近与远离零处的振幅衰减采用不同但平行的处理方式。