[论文解读] On the Hamilton-Waterloo Problem with triangle factors and $C_{3x}$-factors

John Asplund, David C. Kamin+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2015

graph theory and CDMA systems参考文献 8被引用 14

一句话总结

本文解決了完全圖 Kᵥ 中三角形因子（C₃）與 C₃ₓ-因子的哈密頓-沃特爾問題，確立了當 v = 3xy 且 x ≥ 2 時，幾乎所有奇數 v 的情況。本文利用可分解群可除設計與等分因子分解，提出一般性遞迴構造方法，僅留下有限多個 x 值的例外情況（特別是當 s=1 時），或特定小的 y 與 x 值。

ABSTRACT

The Hamilton-Waterloo Problem (HWP) in the case of $C_{m}$-factors and $C_{n}$-factors asks if $K_v$, where $v$ is odd (or $K_v-F$, where $F$ is a 1-factor and $v$ is even), can be decomposed into r copies of a 2-factor made either entirely of $m$-cycles and $s$ copies of a 2-factor made entirely of $n$-cycles. In this paper, we give some general constructions for such decompositions and apply them to the case where $m=3$ and $n=3x$. We settle the problem for odd $v$, except for a finite number of $x$ values. When $v$ is even, we make significant progress on the problem, although open cases are left. In particular, the difficult case of $v$ even and $s=1$ is left open for many situations.

研究动机与目标

• 解決完全圖 Kᵥ 中三角形因子（C₃）與 C₃ₓ-因子的哈密頓-沃特爾問題，其中 v = 3xy 且 x ≥ 2。
• 透過將均勻環分解的既有結果從哈密頓環推廣至 C₃ₓ-因子，進一步拓展現有成果。
• 發展基於可分解群可除設計（RGDDs）與等分因子分解的遞迴構造方法，從較小的圖構造較大圖的解。
• 識別並解決 (3,3x)–HWP(v;r,s) 問題中除有限多個例外值外的所有情況，特別是當 s=1 時。

提出的方法

• 透過類型為 h^u 的可分解 3-RGDD 構造解，以分解 Kᵥ 成 C₃ 與 C₃ₓ-因子。
• 應用引理 14 與引理 15，透過平行類的併集，將較小圖（例如 K₁₂、K₂₄）的分解組合為較大圖的分解。
• 使用定理 3 在完全等分圖 K_(h:u) 中建立 Cₘ-因子分解，進而實現 K_(3xy) 分解為 C₃ 與 C₃ₓ-因子。
• 運用定理 2 在 v ≡ 0 (mod m) 時於 Kᵥ 中建立 Cₘ-因子分解，確保遞迴構造的基礎情況。
• 應用引理 16，透過在等分圖的各部分中合併 C₃ 與 C₁₂-因子，將 K₁₂ 的解提升至 K₂₄ 與 K₄₈。
• 系統性地使用定理 1 的必要條件驗證存在性條件，確保奇數 v 時 r+s = (v−1)/2，偶數 v 時 r+s = (v−2)/2。

实验结果

研究问题

• RQ1 當 v = 3xy 為奇數且 s > 0 時，對於哪些 x 與 y 值，存在 (3,3x)–HWP(3xy;r,s)？
• RQ2 能否利用可分解群可除設計與等分因子分解的遞迴構造，解決 s=1 時除有限多個情況外的所有 (3,3x)–HWP？
• RQ3 對於 (3,3x)–HWP(3xy;r,s) 仍無法解決的情況，其確切的例外 x 與 y 值為何，特別是當 s=1 且 v 為偶數時？
• RQ4 如何在 K_(h:u) 的各部分中合併 C₃ 與 C₃ₓ-因子，以構造較大 v 的解？
• RQ5 x 與 y 的哪些條件可確保在 (3,12)–HWP(12y;r,s) 情況下，所有 s ∈ {0,1,…,6y−1} 均可實現？

主要发现

• 本文解決了所有奇數 v = 3xy（其中 x ≥ 2）的 (3,3x)–HWP(3xy;r,s) 問題，僅剩 s=1 時有限多個 x 值的例外。
• 對於偶數 v = 3xy，問題在所有 s 值下均被解決，除了 s=1 且 x ∈ {3,31,37,41,43,47,51,53,59,61,67,69,71,79,83}，或在 x 與 y 上具有特定模運算條件的情況。
• 當 y ≥ 3 且 x 為奇數，或 x ≡ 2 (mod 12) 且 x ≥ 6 時，s=1 的情況仍為開放問題。
• 當 y ≥ 5 或 y=3 時，(3,12)–HWP(12y;r,s) 對所有 s ∈ {0,1,…,6y−1} 均存在，僅有少數小的例外。
• 本文針對所有 s ∈ {1,2,…,3y−1} 與 s=0，提供了 (3,6)–HWP(6y;r,s) 的明確構造，方法為使用 3-RGDD 與 K₁₂ 上的基礎解。
• 透過定理 3 在 K_(h:u) 中存在 C₃ 與 C₃ₓ-因子分解，使得以等分圖分解技術構造較大圖的解。