[论文解读] On the Hamiltonian Description of Fluid Mechanics

I. Αντωνίου, G. P. Pronko|ArXiv.org|Jun 14, 2001

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文通过拉格朗日粒子轨迹发展了流体力学的哈密顿表述，推导出规范变量，阐明了克莱勃施变量的起源，并将环流守恒（托姆普森定理）与体积保持微分同胚不变性联系起来。该形式体系建立了新的守恒律，并自然地推广至理想等离子体，为量子流体的量子化奠定了基础。

ABSTRACT

We suggest the Hamiltonian approach for fluid mechanics based on the dynamics, formulated in terms of Lagrangian variables. The construction of the canonical variables of the fluid sheds a light of the origin of Clebsh variables, introduced in the previous century. The developed formalism permits to relate the circulation conservation (Tompson theorem) with the invariance of the theory with respect to special diffiomorphisms and establish also the new conservation laws. We discuss also the difference of the Eulerian and Lagrangian description, pointing out the incompleteness of the first. The constructed formalism is also applicable for ideal plasma. We conclude with several remarks on the quantization of the fluid.

研究动机与目标

• 基于拉格朗日粒子轨迹发展流体力学的哈密顿描述，避免依赖欧拉场变量。
• 阐明克莱勃施变量在流体力学中数学起源的清晰解释，这些变量传统上在流体力学中是经验性引入的。
• 建立环流守恒（托姆普森定理）与体积保持微分同胚不变性之间的联系。
• 展示该形式体系在理想等离子体中的适用性，包括通过矢势引入电磁相互作用。
• 通过构建规范变量和泊松括号，为流体系统的量子化奠定基础。

提出的方法

• 将流体动力学表述为以粒子轨迹 $\vec{x}(\xi_i, t)$ 为基本构型变量，其中 $\xi_i$ 标记初始位置。
• 推导拉格朗日量 $L = \int d^3\xi \frac{m}{2} \dot{\vec{x}}^2(\xi_i, t)$，在无外力时导出运动方程 $m\ddot{\vec{x}} = 0$。
• 通过泛函导数引入流体和等离子体组分的共轭动量 $\vec{\pi}(\vec{x}, t)$ 和 $\vec{\Pi}(\vec{x}, t)$。
• 利用勒让德变换，以规范变量表示哈密顿量，并在相空间上定义泊松括号。
• 应用诺特定理于体积保持微分同胚，推导出守恒环流 $V_\Lambda = \oint_\Lambda dx_j \frac{l_j(x)}{\rho(x)}$。
• 通过引入电磁势 $\vec{A}(x)$ 将形式体系推广至等离子体，修改动量变量以包含 $-e\vec{A}$ 和 $+e\vec{A}$ 项。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何基于拉格朗日粒子轨迹一致地构建流体力学的哈密顿表述？
• RQ2 克莱勃施变量在流体力学中的规范起源是什么？它们如何从相空间结构中自然涌现？
• RQ3 环流守恒（托姆普森定理）与体积保持微分同胚的对称性之间有何关系？
• RQ4 该哈密顿形式体系能否扩展以包含理想等离子体中的电磁效应？
• RQ5 该体系对流体的量子化有何影响，特别是构建超越福克表示的量子流体理论？

主要发现

• 通过泛函导数从拉格朗日量导出规范变量 $\vec{\pi}(x)$ 和 $\vec{\Pi}(x)$，实现了完整的哈密顿表述。
• 克莱勃施变量自然地作为相空间中共轭动量的分量出现，解决了其历史上的模糊性。
• 环流守恒被证明是体积保持微分同胚不变性所对应的诺特电流。
• 该形式体系导出了新的守恒量，例如电子的 $V^{el}_\Lambda = \oint_\Lambda dx_j \frac{l_j(x)}{\rho_{el}(x)}$ 和离子的 $V^{ion}_\Lambda$。
• 对于等离子体，守恒环流 $V_\Lambda = V^{el}_\Lambda + V^{ion}_\Lambda = \oint_\Lambda dx_j (m v_{el} + M v_{ion})_j$ 即使在电磁场存在下也保持守恒。
• 等离子体的相空间由规范变量 $\vec{A}_\perp(x), \vec{P}^{em}_\perp(x); \vec{\xi}(x), \vec{\pi}(x); \vec{\Xi}(x), \vec{\Pi}(x)$ 构成，具有明确定义的泊松括号，且哈密顿量包含电磁耦合项。