[论文解读] On the Hamiltonian for water waves

Walter Craig|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2016

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 9被引用 10

一句话总结

本文将 Zakharov 的水波哈密顿形式化推广至自由表面的任意参数化形式，从而能够描述翻滚波剖面。通过在一般坐标系（特别是弧长和拉格朗日参数化）下重新表述系统，建立了具有共轭正则变量的一致哈密顿结构，将经典的基于图形的表述推广至非图形、拓扑复杂的波动力学。

ABSTRACT

Many equations that arise in a physical context can be posed in the form of a Hamiltonian system, meaning that there is a symplectic structure on an appropriate phase space, and a Hamiltonian functional with respect to which time evolution of their solutions can be expressed in terms of a Hamiltonian vector field. It is known from the work of VE Zakharov that the equations for water waves can be posed as a Hamiltonian dynamical system, and that the equilibrium solution is an elliptic stationary point. In this article we generalize the Hamiltonian formulation of water waves by Zakharov to a general coordinatization of the dynamical free surface, which allows it to apply to situations that include overturning wave profiles. This answers a question posed to the author by T.~Nishida during the RIMS Symposium on Mathematical Analysis in Fluid and Gas Dynamics that took place during July 6 - 8 2016.

研究动机与目标

• 将 Zakharov 的水波哈密顿形式化从经典的基于图形的参数化推广至可描述翻滚波剖面的范围。
• 为任意自由表面参数化（包括弧长和拉格朗日坐标）建立一致的哈密顿结构。
• 在非图形坐标下定义共轭正则变量，同时保持辛结构和能量守恒。
• 基于最小作用量原理和勒让德变换，为哈密顿形式化提供几何与变分基础。
• 将狄利克雷-诺伊曼算子形式化推广至非图形表面，确保动能和动量约束始终保持良好定义。

提出的方法

• 采用自由表面的通用参数化形式 $\gamma(t,s)$，允许非图形、翻滚的波剖面。
• 应用最小作用量原理和勒让德变换，推导出一般坐标下的共轭正则变量 $ (\eta, \xi) $。
• 通过辛矩阵 $ J = \begin{pmatrix} 0 & I \\ -I & 0 \end{pmatrix} $ 实现辛结构，确保哈密顿演化 $ \dot{z} = J \, \text{grad}_z H $。
• 将哈密顿泛函 $ H $ 表述为总能量：通过狄利克雷-诺伊曼算子 $ G(\gamma) $ 表示的动能、重力势能以及表面张力能。
• 利用几何约束如弧长坐标下的 $ |\partial_s \gamma| = 1 $ 以保持不可伸长性，并推导法向-切向变分关系。
• 以参数形式推导伯努利方程和运动学边界条件，确保与哈密顿向量场的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Zakharov 的水波哈密顿形式化能否推广至非图形自由表面，特别是具有翻滚剖面的情况？
• RQ2 在非图形参数化（如弧长或拉格朗日坐标）下，共轭正则变量应如何定义？
• RQ3 在一般坐标下，正确的辛结构和哈密顿泛函为何？其应保持能量与动量守恒。
• RQ4 运动学与动力学边界条件在自由表面任意参数化下如何变换？
• RQ5 为保持哈密顿形式化的一致性，必须施加哪些几何约束（如弧长保持）？”

主要发现

• 本文成功地将水波的哈密顿形式化推广至自由表面的任意参数化形式，包括描述翻滚波剖面的情形。
• 在弧长参数化下，条件 $ |\partial_s \gamma| = 1 $ 确保了不可伸长性，并导出一致的辛结构，满足 $ \partial_s T \cdot \delta\gamma = \kappa N \cdot \delta\gamma $，将法向与切向变分联系起来。
• 共轭变量 $ (\eta, \xi) $ 超越了图形情形的限制，其中 $ \xi = \varphi|_{\gamma} $，哈密顿量在适当坐标下表示为 $ H = \frac{1}{2} \int \xi G(\gamma) \xi \, ds + \frac{g}{2} \int \eta^2 \, dx + \sigma \int (\sqrt{1 + |\partial_x \eta|^2} - 1) \, dx $。
• 在弧长坐标下得到的运动方程包含一个涉及 $ G(\gamma)\xi $、$ \partial_s \xi $ 和曲率耦合项 $ \mathcal{T}(\gamma) $ 的修正伯努利条件，且满足 $ \partial_s (G(\gamma)\xi \mathcal{T}) = \kappa G(\gamma)\xi $。
• 该形式化与最小作用量原理和勒让德变换一致，为非正则坐标下的哈密顿结构提供了变分基础。
• 该方法能够描述非图形波动力学，如破碎波和翻滚波，这些在经典基于图形的表述中被排除。